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Hallo liebe Commuity. Ich bräuchte mal bitte eure Hilfe. Bei dieser Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz.


Eine symmetrische Matrix M ∈ ℝ4,4 besitzt die folgende Eigenschaft:

Es gibt vier linear unabhängige Vektoren u,v,w,z ∈ ℝ4 ,sodass


M×u = \( \begin{pmatrix} -1\\2\\0\\1 \end{pmatrix} \),

M×v = \( \begin{pmatrix} 0\\2\\3\\2 \end{pmatrix} \)

M×w=M×u+M×v

M×z= M×u-M×v


Bestimmen Sie jeweils eine Orthonormalbasis für das Bild(M) und den Kern(M)


Ich wäre euch super dankbar, wenn ihr mir helft.

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Offenbar ist (u,v) eine Basis für Bild(M).

Orthogonalisierung (nach Gram-Schmidt) gibt v'=u-v= \( \begin{pmatrix} -1\\0\\-3\\-1 \end{pmatrix} \)

u und v' bilden also eine Orthogonalbasis und Normalisierung gibt

die Orthonormalbasis

\((  \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0\\1 \end{pmatrix} ,  \frac{1}{\sqrt{11}} \begin{pmatrix} -1\\0\\-3\\-1 \end{pmatrix} ) \) für das Bild.

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