Folgende Differentialgleichungssysteme bestimmen

Question

Aufgabe: Es handelt sich um Differentialgleichungssysteme

Habe ich die Aufgabe richtig gelöst? Könnt ihr mir bitte eine Rückmeldung geben?

Problem/Ansatz:

I) $y_{1}^{\prime}=y_{1}+2 y_{2}+e^{-2 x}$
$y_{2}^{\prime}=4 y_{1}-y_{2}$
$\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 4 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e^{-2 x} \\ 0\end{array}\right)$
$\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 2 \\ 4 & -1-\lambda\end{array}\right)=(1-\lambda) \cdot(-1-\lambda)-8$
$=-1-x+\not x+\lambda^{2}-8$
$=\lambda^{2}-9=0$
$\Rightarrow \lambda=\pm 3$
$\lambda=3\left(\begin{array}{cc|c}-2 & 2 & 0 \\ 4 & -4 & 0\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cc|c}-2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\sim\left(\begin{array}{cc|c}1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Longrightarrow E V=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2} \\ -1\end{array}\right) \triangleq\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)$

$\lambda=-3$
$\leadsto\left(\begin{array}{cc|c}1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E V=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \leqq\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)$
$y_{2}=c_{1} \cdot e^{3 x}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{-3 x}\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)$
$\psi=\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-3 x} \\ 2 e^{3 x} & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1} \\ c_{2}\end{array}\right)=$
$\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-3 x} \\ 2 e^{3 x} & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1}^{\prime} \\ c_{2}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}e^{-2 x} \\ 0\end{array}\right)$
$c_{1}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{-2 x} & e^{-3 x} \\ 0 & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-3 x} \\ 2 e^{3 x} & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)}=$
$=\frac{-2 e^{-5 x}}{-2-2}=\frac{-2 e^{-5 x}}{-\not 42}=\frac{1}{2 e^{5 x}}$

$a_{1}=\int\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-5 x}\right) d x=-\frac{1}{10} e^{-5 x}$
$q^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}e^{3 x} & e^{-2 x} \\ 2 e^{3 x} & 0\end{array}\right)}{-4}=\frac{-2 e^{x}}{-4}$
$=\frac{1}{2} e^{x}$
$C_{2}=\int\left(\frac{1}{2} e^{x}\right) d x=\frac{1}{2} e^{x}$
$y_{p}=\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-3 x} \\ 2 e^{3 x} & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{10} e^{-5 x} \\ \frac{1}{2} e^{x}\end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{10} e^{-2 x}+\frac{1}{2} e^{-2 x} \\ -\frac{2}{10} e^{-2 x}-e^{-2 x}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{5} e^{-2 x} \\ -\frac{6}{5} e^{-2 x}\end{array}\right)$
$-\frac{1}{10}+\frac{5}{10}=\frac{\not^{2}}{10_{5}}=\frac{2}{5}$
$-\frac{2}{10}-\frac{10}{10}=-\frac{42}{10}=-\frac{6}{5}$

Comments

Hallo

warum sollen wir das alles nachrechnen, wen es für dich genauso schnell geht, die Lösung in die Dgl einzusetzen und zu sehen ob es stimmt?

lul

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Achso stimmt, man kann ja hier auch die Probe machen.

Aber die Probe funktioniert nicht. Denn ich bekomme sowas heraus (falls die Probe stimmt)

$y=c_{1} e^{3 x}\left(\frac{1}{2}\right)+c_{2} \cdot e^{-3 x}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)+$
$y=c_{1} \cdot e^{3 x}\left(\frac{1}{2}\right)+c_{2} \cdot e^{-3 x}\left(\frac{1}{-2}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{2}{5} e^{-2 x} \\ -\frac{-5}{5} e^{-2 x}\end{array}\right)$
$y_{1}=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-3 x}+\frac{2}{5} e^{-2 x}$
$y_{1}^{\prime}=3 c_{1} e^{3 x}-3 c_{2} e^{-3 x}-\frac{4}{5} e^{-2 x}$
$y_{2}=2 c_{1} \cdot e^{3 x}-2 c_{2} e^{-3 x}-\frac{6}{5} e^{-2 x}$
$y_{1}^{\prime}=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-3 x}+\frac{2}{5} e^{-2 x}+$
$4 c_{1} \cdot e^{3 x}-4 c_{2} e^{-3 x}-\frac{12}{5} e^{-2 x}+e^{-2 x}=$
$5 c_{1} e^{3 x}-2 c_{2} e^{-3 x}-\frac{10}{5} e^{-2 x}+e^{-2 x}$

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Du hast Dich schon beim ersten Eigenvektor verrechnet.

Technisch ist es übersichtlicher wenn Du die einzelnen Anteile der Lösung separat überprüft, also die erste Lösung der homogenen Gleichung, die zweite und die Lösung der inhomogenen Gleichung.

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ups, wo genau ist der Fehler?

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Hab den Fehler gefunden, -1/2 ist falsch, da muss -1 rauskommen

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Nun werde doch mal selbstständig und mache die Probe: Setze Deinen berechneten Vektor on das Gleichungssystem ein und prüfe, ob das stimmt

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Die Lösung stimmt fast, d.h. irgendwo habe ich immer noch einen Fehler…

$y_{1}=c_{1} \cdot e^{3 x}+c_{2} \cdot e^{-3 x}-\frac{3}{10} e^{-2 x}$
$y_{1}^{\prime}=3 c^{3 x}-3 c_{2} e^{-3 x}+\frac{6}{20} e^{-2 x}$
$y_{2}=c_{1} \cdot e^{3 x}-2 c_{2} \cdot e^{-3 x}+\frac{7}{10} e^{-2 x}$
$y_{2}^{\prime}=3 c_{1} e^{3 x}+6 c_{2} \cdot e^{-3 x}-\frac{14}{10} e^{-2 x}$
$y_{1}=c_{1} \cdot e^{3 x}+c_{2} \cdot e^{-3 x}-\frac{3}{20} e^{-2 x}+$
$2 \cdot c_{1} \cdot e^{3 x}-4 c_{2} \cdot e^{-3 x}+\frac{14}{10} e^{-2 x}+e^{-2 x}$
$3 c_{1} e^{3 x}-3 c_{2} \cdot e^{-3 x}+\frac{9}{4} e^{-2 x}$

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Mathhilf, ich rechne die Aufgabe wieder erneut. Sobald ich fertig bin, lade ich sie hoch.

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i) $y_{1}^{\prime}=y_{1}+2 y_{2}+e^{-2 x}$
$y_{2}^{\prime}=4 y_{1}-y_{2}$
$\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 4 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e^{-2 x} \\ 0\end{array}\right)$
$\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 2 \\ 4 & -1-\lambda\end{array}\right)=(1-\lambda) \cdot(-1-\lambda)-8$
$=-1-\lambda+\lambda+\lambda^{2}-8$
$=\lambda^{2}-9=0$
$\Rightarrow \lambda=\pm 3$
$\lambda=3\left(\begin{array}{cc|c}-2 & 2 & 0 \\ 4 & -4 & 0\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cc|c}-2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\leadsto\left(\begin{array}{cc|c}1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E V=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1\end{array}\right) \triangleq\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)$

$\lambda=-3 \quad$
$\left(\begin{array}{ll|l}4 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 0\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ll|l}4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\leadsto\left(\begin{array}{cc|c}1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E V=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ -1\end{array}\right) \triangleq\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)$
$y_{h}=c_{1} \cdot e^{3 x}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{-3 x}\left(\frac{1}{-2}\right)$
$\psi=\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-3 x} \\ e^{3 x} & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1} \\ c_{2}\end{array}\right)=$
$\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-3 x} \\ e^{3 x} & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_{1}^{1} \\ c_{2} 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}e^{-2 x} \\ 0\end{array}\right)$
$c_{1}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{-2 x} & e^{-3 x} \\ 0 & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-3 x} \\ e^{3 x} & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)}=\frac{-2 e^{-5 x}}{-2-1}$
$=\frac{2 e^{-5 x}}{3}$

$c_{1}=\int\left(\frac{2}{3} e^{-5 x}\right) d x=\frac{2}{3} \cdot\left(-\frac{1}{5}\right) e^{-5 x}$
$=-\frac{2}{15} e^{-5 x}$
$c_{2}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-2 x} \\ e^{3 x} & 0\end{array}\right)}{-3}=\frac{-e^{x}}{-3}$
$=\frac{1}{3} e^{x}$
$c_{2}=\int\left(\frac{1}{3} e^{x}\right) d x=\frac{1}{3} e^{x}$
$y_{p}=\left(\begin{array}{cc}e^{3 x} & e^{-3 x} \\ e^{3 x} & -2 e^{-3 x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\frac{2}{15} e^{-5 x} \\ \frac{1}{3} e^{x}\end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{l}-\frac{2}{15} e^{-2 x}+\frac{1}{3} e^{-2 x} \\ -\frac{2}{15} e^{-2 x}-\frac{2}{3} e^{-2 x}\end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{15} e^{-2 x} \\ -\frac{12}{15} e^{-2 x}\end{array}\right)$

$y=c_{1} \cdot e^{3 x}(1)+c_{2} \cdot e^{-3 x}\left(\frac{1}{-2}\right)+\left(\frac{-\frac{2}{15}}{\frac{1}{3} e^{-5 x}}\right)$
Probe:
$\begin{array}{l} y_{1}=a \cdot e^{3 x}+c_{2} \cdot e^{-3 x}-\frac{2}{15} e^{-5 x} \\ y_{2}=c_{1} \cdot e^{3 x}-2 c_{2} \cdot e^{-3 x}+\frac{1}{3} e^{x} \\ y_{1}^{\prime}=3 c_{1} e^{3 x}-3 c_{2} e^{-3 x}+\frac{10}{15} e^{-5 x} \\ y_{1}^{\prime}=c_{1} e^{3 x}+c_{2} \cdot e^{-3 x}-\frac{2}{15} e^{-5 x}+2 a_{1} e^{3 x} \\ -4 c_{2} \cdot e^{-3 x}+\frac{2}{3} e^{x}+e^{-2 x} \\ =3 c_{1} e^{3 x}-3 c_{2} e^{-3 x} \\ \end{array}$

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Also die Probe funktioniert wieder nicht, es hebt sich nix weg…

Ich weiß echt nicht was falsch ist.

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Du hast y_p falsch in die Probe übertragen. Deine Lösung ist richtig.

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Vielen Dank Mathhilf! Ich werde die Probe erneut rechnen und hier hochladen.