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Bei der Rotation des Graphen von \(f(x)=ax^3+8\) um die \(x\)-Achse enstehen Kreise, die senkrecht auf der \(x\)-Achse stehen und ihren Mittelpunkt auf der \(x\)-Achse haben. Der Radius des so entstehenden Kreises an der Stelle \(x\) ist gleich dem Funktionswert \(r=f(x)\). Die Fläche eines solchen Kreises ist daher \(\pi\,r^2=\pi\,f^2(x)\). All diese Flächen müssen wir entlang der \(x\)-Achse summieren, um das Volumen zu erhaten:$$V=\int\limits_{x=0}^a\pi f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_{x=0}^a\left(ax^3+8\right)^2dx=\pi\int\limits_{x=0}^a\left((ax^3)^2+2\cdot ax^3+64\right)dx$$$$\phantom V=\pi\int\limits_{x=0}^a\left(a^2x^6+16ax^3+64\right)dx=\pi\left[\frac {a^2}{7}x^7+4ax^4+64x\right]_{x=0}^a=\pi\left[\frac{a^9}{7}+4a^5+64a\right]$$
