Wie zeigt man die Summe einer konvergenten Reihe

Question

Aufgabe:

Es sei \( s \) die Summe der konvergenten Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \). Zeigen Sie, dass
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{3}{4} s \)

Hey, liebe Mathelounge Community, ich bräuchte mal eure Hilfe

Kann mir, wer bitte einen Ansatz zeigen

LG

Answer 1

Spalte einfach die gegebene Reihe in gerade und ungerade Glieder auf:

$$s = \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{(2n)^2}+ \sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{(2n+1)^2} = \frac 14 s + \sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{(2n+1)^2}$$