Zeigen Sie, dass s die Summe der konvergenten Reihe

Question

Aufgabe:

Es sei s die Summe der konvergenten Reihe E∞ n=1 1/n². Zeigen Sie, dass

E∞n=0     1/(2n + 1)²     =  (3/4)*s.

Problem/Ansatz:

erstmal s eingesetzt also drei viertel mal Summenzeichen bla bla 1 durch n hoch 2

dann die erste Summen berechnet von der anderen Summen, also n=0

1/(2*0 + 1)² = 1/1² = 1

also 1 + Summenzeichen bla bla

dann die zwei Sachen gleichgesetzt, somit habe ich

1 + Summenzeichen mit n=1und oben unendlich 1/(2n +1)² = 3/4* Summenzeichen mit auch n=1 und oben unendlich 1/n²

ab hier komme ich mathematisch nicht weiter.

Ich kenns aus dem internet, da sagt irgendeiner ja, was ist wohl wenn du das eine minus dem annderen nimmst logisch 0, wenns gleich sein soll, aber wie soll ich es zeigen. und bei der weiße wie ich es gemacht habe, komme ich auf nichts ohne mathematische Regeln zu brechen

Comments

Siehe dazu hier.

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finde ich komisch,

wieso wird nach dem plus 1

aufeinmal 2 summen addiert und selbst wenn es so ist, wieso erklärt der nicht einfach wieso das so ist, daraus kann ich es leider nicht verstehen

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Die Reihe wird aufgeteilt in zwei Summen. Eine besteht aus den Summanden mit geraden Indices, die andere aus denen mit ungeraden.

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Das zeigt aber doch immer noch nicht dass

E 1/(2n+1)² gleich pi/8 -1 ist

Woher weiß ich dass diese zwei summen wirklich das gleiche

Bzw das gleiche wenn das eine minus einsgerechnet wird wegen des n=0

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Wenn du die Reihe wie oben beschrieben aufteilst, hast du$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}+\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2}.$$Daraus folgt$$s=\frac s4+\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2},$$und daraus die Behauptung.

Answer 1

Ausführlicher vielleicht so (Da war die Antwort von ermanus noch nicht da.):

$s= \quad\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$

Die Summe kannst du ja aufteilen in den ersten Summanden, dann die

Summe der Summanden mit geradem n und dann die Summe mit den

ungeraden n ab n=3 .

Dann hast  du

$s = 1 + (\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} + \dots ) + (\frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots)$

Die Summen in den Klammern kannst du auch wieder mit Summenzeichen schreiben

 $=1+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2}$

und jetzt bedenke $\frac{1}{(2n)^2}= \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{n^2}$

und den Faktor 1/4 kannst du aus der Summe ziehen, also

$=1+ \frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2}$

dann hast du in der Mitte auch wieder s und jetzt wieder eine Gleichung daraus machen

$s=1+ \frac{1}{4}\cdot s + \sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2}$

$\frac{3}{4}\cdot s =1+ \sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2} = \sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^2}$

Comments

mega, die antwort hat mir am meisten geholfen, i love you bro <3

Answer 2

Die Menge der Summanden teilen wir auf:

$\{\frac{1}{n^2}: \; n\in N, n>0\}=\{\frac{1}{(2n+1)^2}: \; n \in N\}\; \dot\cup \; \{\frac{1}{(2n)^2}: \; n\in N, n>0\}$

Wir bilden zu den drei Mengen die Summen der Elemente:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}$$Also$$s=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}+\frac{1}{4}\cdot s$$