Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des zweiten Arguments

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion

\( F\left(x_{1}, x_{2}\right)=9 x_{1}^{0.57} x_{2}^{0.3} . \)

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des zweiten Arguments bei Erhöhung des ersten Arguments um eine marginale Einheit an der Stelle \( a=(3,7) \) und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion \( F \).

Problem/Ansatz:

Ich komme hier auf das Ergebnis 0,225, jedoch ist dieses falsch?

Comments

Überprüfe das Vorzeichen und die Rundung deines Ergebnisses

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Danke.. habe ich eigentlich mehrmals gemacht..

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Mein Rechenweg ist:

In Wolfram :https://www.wolframalpha.com/partial derivate 9x^0.57*y^0.3

x: (5.13 y^0.3)/x^0.43

y: (2.7 x^0.57)/y^0.7

3 und 7 einsetzen:

x: (5.13*7^0.3)/3^0.43 = 5.7343558

y: (2.7*3^0.57)/7^0.7 = 1.293463719

Dann x/y

1.293463719/ 5.7343558 = 0.225564

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Es soll dF = ∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy = 0 sein, also 5,73..dx + 1,29.. dy = 0
⇒ dx/dy = - 1,29../5,73.., aber solltest du nicht dy/dx = -133/30 berechnen ?

Wenn x vergrößert wird muss doch offenbar y verkleinert werden um ein gleichbleibendes Niveau von F zu erhalten, die Änderungsrate ist also negativ.

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Woher kommen die -133/30

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Es ist der negative Kehrwert von  1.293463719/ 5.7343558 = 30 / 133

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danke.. somit wäre die lösung -4,4333?

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Was genau ist nun die richtige Lösung?

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oder ist es -0,225

Answer 1

Du möchtest die Änderungsrate von \(x_2\) in Abhängigkeit von \(x_1\) bestimmen. Du musst also die Ableitung von \(x_2\) bzgl. \(x_1\) ermitteln.

Dazu löst du zunächst die folgende Gleichung nach \(x_1\) auf:

$$9x_1^{0.57}x_2^{0.3} = F(3,7) \Leftrightarrow x_2 = \left(\frac{F(3,7)}{9}\right)^{\frac 1{0.3}}\cdot x_1^{-1.9}$$

Jetzt differenzierst du dann nach \(x_1\):

$$\frac{dx_2}{dx_1} = -1.9\cdot\left(\frac{F(3,7)}{9}\right)^{\frac 1{0.3}}\cdot x_1^{-2.9}$$

Nur noch die Werte für \(F(3,7)\) und \(x_1 = 3\) einsetzen und ausrechnen:

$$\left.\frac{dx_2}{dx_1}\right|_{x_1=3} \approx -4.433$$

Hier hab ich das mal nachgerechnet: https://www.wolframalpha.com/input?i=-1.9*%283%5E%280.57%29*7%5E0.3%29%5E%281%2F0.3%29*3%5E%28-2.9%29