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Hallo

Berechnen Sie alle lokalen und globalen Extremstellen und Extremwerte   der Funktion f: [-1,3]→R mit

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Text erkannt:

f(x)={x2+1 fu¨1x<0,x2+2x+1 fu¨0x3 f(x)=\left\{\begin{aligned}-\frac{x}{2}+1 & \text { für }-1 \leq x<0, \\ -x^{2}+2 x+1 & \text { für } 0 \leq x \leq 3\end{aligned}\right.

Für erste ist (-1,1,5)  globale max und ( 0,1) globale min,

für zweite ist (1,2) globale Max , (0,1) lokale min und (3,-2) globale min?

Wäre dankbar, wenn jemand es Antwortet.

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Aloha :)

Mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung können wir nur die Extrema über einer offenen Definitionsmenge bestimmen. Daher führen wir eine Fallunterscheidung durch.

1. Fall: 1<x<0-1<x<0f(x)=x2+1    f(x)=120f(x)=-\frac x2+1\implies f'(x)=-\frac12\ne0Die Funktion besitzt in diesem Fall kein Extremum.

2. Fall: x=1x=-1

Im 1-ten Fall haben wir erfahren, dass f(x)<0f'(x)<0 ist. Daher ist die Funktion für x<0x<0 streng monoton fallend.

Also muss bei an der Stelle x=1x=-1 ein sog. Randmaximum vorliegen.

3. Fall: 0<x<30<x<3f(x)=x2+2x+1    f(x)=2x+2    f(x)=2f(x)=-x^2+2x+1\implies f'(x)=-2x+2\implies f''(x)=-2Für x=1x=1 ist die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung negativ.

Daher liegt bei x=1x=1 ein Maximum vor.

4. Fall: x=0x=0

Die Funktion ist an der Stelle x=0x=0 stetig, denn der Funktionswert ist dort f(0)=1f(0)=1 und dasselbe gilt für den linksseitigen Grenzwert:limx0(x2+1)=0+1=1\lim\limits_{x\nearrow0}\left(-\frac x2+1\right)=0+1=1

Nach dem 1. Fall fällt die Funktion für x<0x<0 streng monoton.

Nach dem 3. Fall ist f(x)>0f'(x)>0 für 0<x<10<x<1, also steigt die Funktion streng monoton.

Das heißt, bei x=0x=0 hat die Funktion ein Minimum.

Zusammenfassung:

Randmaximum bei x=1x=-1 und Minimum bei x=0x=0 und Maximum bei x=1x=1

Plotlux öffnen

f1(x) = (-x/2+1)·(-1<=x)·(x<0)P(-1|1,5)f2(x) = (-x2+2x+1)·(x>=0)·(x<3)P(0|1)P(1|2)Zoom: x(-2…4) y(-2,5…2,5)

Bei x=3x=3 liegt kein Minimum vor, weil die Funktion für x=3x=3 nicht defniert ist.

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Danke, schöne, vorbildliche Erklärung. :)

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1. hat kein Extremum, weil eine Gerade

f '(x) = -1/2 ≠0

2. f'(x)= -2x +2 = 0

x= 1

Extremum (1/2) = lokales und globales Max., Parabel nach unten geöffnet

Avatar von 39 k
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Das soll ja als EINE Funktion betrachtet werden.

Dann ist bei x=-1 ein LOKALES Maximum; denn in

jeder kleinen Umgebung von -1 ist kein

größerer Funktionswert als  1,5.

Bei x=0 ist ein lokales Minimum; denn in jeder kleinen

Umgebung von 0 gibt es keine Werte,

die kleiner als f(0)=1 sind .

Bei x=1 ist das globale Maximum 2

und bei x=3 das globale Minimum -2.

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Gibt es unterschiedl. Definitionen des Extremums?

Irgendwie verwirrend.

Ich kenne nur die: z.B.

An der Stelle xo ∈A ist ein globales
Maximum der Funktion f: A → B .

<=> Für alle x∈A gilt f(x) ≤ f(xo) .

Verstehe. Danke. :)

Man denkt halt sofort an f '(x) = 0, was bei Geraden nicht möglich ist, außer bei

Parallelen zur x-Achse, die hier nicht vorliegt.

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