Aloha :)
Mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung können wir nur die Extrema über einer offenen Definitionsmenge bestimmen. Daher führen wir eine Fallunterscheidung durch.
1. Fall: −1<x<0f(x)=−2x+1⟹f′(x)=−21=0Die Funktion besitzt in diesem Fall kein Extremum.
2. Fall: x=−1
Im 1-ten Fall haben wir erfahren, dass f′(x)<0 ist. Daher ist die Funktion für x<0 streng monoton fallend.
Also muss bei an der Stelle x=−1 ein sog. Randmaximum vorliegen.
3. Fall: 0<x<3f(x)=−x2+2x+1⟹f′(x)=−2x+2⟹f′′(x)=−2Für x=1 ist die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung negativ.
Daher liegt bei x=1 ein Maximum vor.
4. Fall: x=0
Die Funktion ist an der Stelle x=0 stetig, denn der Funktionswert ist dort f(0)=1 und dasselbe gilt für den linksseitigen Grenzwert:x↗0lim(−2x+1)=0+1=1
Nach dem 1. Fall fällt die Funktion für x<0 streng monoton.
Nach dem 3. Fall ist f′(x)>0 für 0<x<1, also steigt die Funktion streng monoton.
Das heißt, bei x=0 hat die Funktion ein Minimum.
Zusammenfassung:
Randmaximum bei x=−1 und Minimum bei x=0 und Maximum bei x=1
Plotlux öffnen f1(x) = (-x/2+1)·(-1<=x)·(x<0)P(-1|1,5)f2(x) = (-x2+2x+1)·(x>=0)·(x<3)P(0|1)P(1|2)Zoom: x(-2…4) y(-2,5…2,5)
Bei x=3 liegt kein Minimum vor, weil die Funktion für x=3 nicht defniert ist.