Zeigen Sie, dass b eine Basis von V und c eine Basis von w ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum mit Basis $b=\left(v_{1}, \ldots, v_{4}\right), W$ sei ein $\mathbb{R}$ Vektorraum mit Basis $c=\left(w_{1}, \ldots, w_{5}\right)$. Sei $f: V \rightarrow W$ die lineare Abbildung mit
$M(f, b, c)=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 12 & 4 \\ 0 & 4 & -17 & 5 \end{array}\right)$
Schließlich seien $b^{\prime}=\left(v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{4}^{\prime}\right)$ mit $v_{1}^{\prime}=v_{1}+v_{2}, v_{2}^{\prime}=v_{2}+v_{3}, v_{3}^{\prime}=v_{3}+v_{4}, v_{4}^{\prime}=v_{4}$ und $c^{\prime}=\left(w_{1}^{\prime}, \ldots, w_{5}^{\prime}\right)$ mit $w_{1}^{\prime}=w_{1}, w_{2}^{\prime}=w_{1}+w_{2}, w_{3}^{\prime}=-w_{1}+w_{3}, w_{4}^{\prime}=w_{1}+w_{4}, w_{5}^{\prime}=w_{1}+w_{5}$.
(i) Zeigen Sie, dass $b^{\prime}$ eine Basis von $V$ und $c^{\prime}$ eine Basis von $w$ ist.
(ii) Berechnen Sie $M\left(f, b, c^{\prime}\right), M\left(f, b^{\prime}, c\right)$ und $M\left(f, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen, wie ich das beweise und berechnen muss? Diese zusätzlichen Angaben verwirren mich

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir kennen die Koordinatendarstellung der Basis $b'$ bezüglich der Basis $b$:$$v'_1=v_1+v_2\implies\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\large b'}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\large b}\quad;\quad v'_2=v_2+v_3\implies\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\large b'}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\large b}$$$$v'_3=v_3+v_4\implies\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\large b'}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}_{\!\large b}\quad;\quad v'_4=v_4\implies\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\large b'}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\large b}$$Damit kennen wir auch die Basiswechselmatrix von $b'$ nach $b$:$$\mathrm{id}(b',b)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$$

Auf analoge Weise können wir die Basiswechselmatrix von $c'$ nach $c$ angeben:$$\mathrm{id}(c',c)=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

Die Determinanten beider Basisweschsel-Matrizen sind $=1$, daher lässen sich die Transformationen von $b'$ nach $b$ bzw. von $c'$ nach $c$ eindeutig umkehren, sodass auch $b'$ und $c'$ Basen ihres jeweiligen Vektorraums sind.

Die gesuchten Abbildungsmatrizen kannst du nun leicht berechnent:$$M(f,b,c')=\mathrm{id}(c,\red {c'})\cdot M(f,b,\red c)=\left(\mathrm{id}(c',c)\right)^{-1}\cdot M(f,b,c)$$$$M(f,b',c)=M(f,\green{b},c)\cdot\mathrm{id}(\green{b'},b)$$$$M(f,b',c')=M(f,\green b,c')\cdot\mathrm{id}(\green{b'},b)$$

Den Spaß am Ausrechnen dieser Matrix-Produkte möchte ich dir nicht nehmen. Achte darauf, dass für die letzte Rechnung nicht die Matrix $M(f,b,c)$ aus der Aufgabenstellung herangezogen wurde, sondern die Ergebnis-Matrix $M(f,b,c')$ des ersten Basiswechsels.

Comments

Vielen dank, das ist wirklich sehr schön verständlich.

Answer 2

$b^{\prime}=\left(v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{4}^{\prime}\right)$ ist eine Basis genau

dann, wenn die v' linear unabhängig sind; denn es sind ja 4 Stück.

Mache dazu den Ansatz:

$a \cdot v_{1}^{\prime} +b \cdot v_2 +c \cdot v_3 +d \cdot v_4 = 0$

und setzte für die v '  jeweils das gegebene ein und ordne dann neu

nach den ursprünglichen v. Deren Koeffizienten sind 0, weil die v linear

unabhängig sind. Folgere daraus a=b=c=d=0 und du hast:

Die v' sind linear unabhängig.

Entsprechend mit den w.

Für die Matrizen in ii) beachte https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)#Basiswechsel…

Comments

Könntest du (jemand)  das für v oder w mal ausschreiben?

Den Wikipedia Atrikel habe ich schon gelesen, im Übrigen weiß ich was eine basiswechselmatix ist, nur sind für c´ und b´ keine zahlen gegeben weshalb ich keine zusammenhang herstellen kann

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$v_{1}^{\prime}=v_{1}+v_{2}, v_{2}^{\prime}=v_{2}+v_{3}, v_{3}^{\prime}=v_{3}+v_{4}, v_{4}^{\prime}=v_{4}$

Ergibt doch für den Wechsel von b nach b '  die Matrix:

$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$  und bei w entsprechend.