Zeige das, dass Integral [0,1] von x^n gegen 0 konvergiert.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \int \limits_{0}^{1} x^n dx =0 \) ist.

Tipp neben der Aufgabe: Für Konvexe Funktionen ... gilt:  f(y) ≥ f(x) + f´(x)(y − x) 

Problem und 1te Frage:
Ich meine verstanden zu haben das, dass Ergebnis 0 ist, da für n → ∞ der Bereich von 0 bis 1 in der Riemansumme immer Null ergibt. Doch wie zeige ich es mit Hilfe des Tipps?

2te Frage:
Hätte es auch gerne mit Hilfe der Riemansumme gezeigt nur weiß ich nicht wie man sowas aufschreibt. Ich glaub ich hätte x als eine Folge welche gegen 1 Konvergiert darstellen können. z.B: a_k ∈ [0,1], a_k → 1 und dann
\( \lim\limits_{n\to\infty} \sum \limits_{k=0}^{\infty}(a^n_k)*(a^n_k-a^n_{k-1}) \) aufstellen können. Und dann zeigen können das diese Summe gegen 0 konvergiert.

Ist das Quatsch oder würde das so auch gegen?

Answer 1

Hallo,

ich kann Dir die 2. Frage beantworten. Zum Tipp ist mir noch nichts eingefallen.

Da der Integrand nichtnegativ ist, ist 0 eine untere Abschätzung für den Wert des Integrals. Gegeben sei nun ein \(e>0\). Wir definieren eine Riemann-Obersumme mit einem Wert kleiner gleich 2e für hinreichen große n. Da e beliebig ist, folgt, dass das Integral gleich 0 ist.

Sei jetzt \(n+1 \geq e^{-2}\). Dann betrachten wir die Zerlegungspunkte \(0,\frac{1}{1+e},1\). Da der Integrand wachsend ist wird das Maximum jeweils am rechten Intervallende angenommen. Für die Obersumme liefert also das erste Intervall \([0,\frac{1}{1+e}]\) den Beitrag

$$\left(\frac{1}{1+e}\right)^n\left (\frac{1}{1+e}-0\right)=\left(\frac{1}{1+e}\right)^{n+1}=\frac{1}{(1+e)^{n+1}}\leq \frac{1}{1+(n+1)e} \leq \frac{1}{(n+1)e}\leq e$$

Bei der ersten Abschätzung haben wir den Nenner nach untern durch die beiden ersten Terme des binomischen Satzes abgeschätzt. Das zweite Intervall liefert zur Obersumme:

$$1\cdot (1-\frac{1}{1+e})=\frac{e}{1+e} \leq e$$

Gruß Mathhilf