Extremwertaufgabe - Zelt

Question

Extremwertaufgaben - Zelt

Aus Holzpfählen der Länge a = 4 m soll das Grundgerüst für ein Zelt mit maximaler Querschnittsfläche in der Form eines gleichschenkeligen Dreiecks gebaut werden. Berechne die Höhe des Zeltes und die maximale Querschnittsfläche.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist:

Hauptbedingung: A(a,b) = a.b

Nebenbedingung: b² + (c/2)² = a²

Beim Durchrechnen kommt bei mir aber leider nicht die Lösung, die im Lösungsheft steht, heraus!

Danke im Voraus für die Unterstützung!

Comments

Hauptbedingung: A(a,b) = a.b

Soll das Zelt eine RECHTECKIGE Grundfläche haben? Davon steht bisher nichts in deinem Aufgabentext.

---

Soll die Querschnittsfläche vertikal sein?

---

Hallo Anne,

ich unterstelle, dass das Zelt in der Grundfläche quadratisch ist und so aussieht

Den 'Querschnitt' habe ich links neben das Zelt in blau gezeichnet. Wieviele Holzpfähle werden für das Zelt gebraucht? So wie oben gezeichnet wären es 4 - ist das richtig?

Schreib' uns bitte, ob die Aufgabe so gemeint ist - Danke!

Answer 1

Hallo Anne,

Willkommen in der Mathelounge.

ich unterstelle, dass die Grundfläche des Zelts quadratisch sein soll und $c$ ist die Seitenlänge des quadratischen Grundriss. Dann ist $b$ die Höhe einer Seitenfläche. Für die Höhe $h$ im Zelt gilt dann$$h^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = b^2 = a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2 \\ \begin{aligned}\implies h^2 &= a^2 - 2\left(\frac{c}{2}\right)^2 \\ h &=\sqrt{a^2 - \frac{1}{2}c^2}\end{aligned}$$Die Querschnittsfläche $A$ des Zelts ist$$A = \frac{1}{2} hc$$Einsetzen der Nebenbedingung und ableiten nach $c$ gibt$$\begin{aligned} A &=\frac{1}{2} c \sqrt{a^2 - \frac{1}{2}c^2} &&|\,\text{Produktregel}\\ A' &=\frac{1}{2} \sqrt{a^2 - \frac{1}{2}c^2} + \frac{1}{2} c \frac{-c}{ 2\sqrt{a^2 - \frac{1}{2}c^2}} \\&= \frac{ 2\left(a^2 - \frac{1}{2}c^2\right) - c^2}{4\sqrt{a^2 - \frac{1}{2}c^2}}\\ &= \frac{ 2a^2 - c^2 - c^2}{4\sqrt{a^2 - \frac{1}{2}c^2}}\\ &= \frac{ 2(a^2 - c^2)}{4\sqrt{a^2 - \frac{1}{2}c^2}} \to 0\end{aligned}$$und die Ableitung $A'$ ist $=0$ wenn $c^2=a^2$ bzw. $c=a$ ist.

Dann ist die Höhe bei maximalem Querschnitt$$h = \sqrt{a^2 - \frac{1}{2}a^2} = \sqrt{\frac{1}{2}a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}\, a \approx 2,83\,\text{m}$$und der dazu gehörende Querschnitt ist$$A = \frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}\, a = \frac{1}{4}\sqrt 2\, a^2 \approx 5,66\,\text{m}^2$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

ich würde mit 9 Balken so eine Konstruktion bauen und dann das blaue Zelt aufspannen.

Der Inhalt der vertikalen dreieckigen Querschnittsfläche beträgt dann Grundline mal Höhe durch zwei.

Comments

Wenn man die vertikale Querschnittsfläche, anstatt senkrecht zur Firstachse, durch die Firstmitte und zwei diagonal gegenüberliegende Zeltecken gehen lässt, erhöhen sich die 8 m² noch um den Faktor $\sqrt{2}$.

Wenn man die skizzierte exoskelettale Bauweise nicht mag und stattdessen ein Tipi baut (kegelförmig), bei dem diverse Stangen diagonal am Zeltstoff stehen, so schräg dass die Querschnittsfläche maximal wird, dann komme ich ebenfalls auf 8 m².