3 Gleichungen für 3 Unbekannte, wie geht man vor?

Question

Aufgabe:

… 3 Gleichungen für 3 Unbekannte, wie geht man vor?

Problem/Ansatz:

Was muss ich zunächst tun, um auf diese Ergebnisse zu kommen?:

a = -1,5                             

b = 0

c = 1,5

Die Funktion lautet also

f(x) = -1,5x2 + 1,5

Ich habe folgendes schon herausgefunden:

F(1) - F(0) = 1

F(1) = 1/3 * a * 13 + 1/2 * b * 12 + c * 1 + d

F(0) = 1/3 * a * 03 + 1/2 * b * 02 + c * 0 + d

F(1) - F(0) = 1/3 * a + 1/2 * b + c = 1

a + b + c = 0

b = 0

1/3 * a + 1/2 * b + c = 1

Comments

Was hälst Du davon die Aufgabenstellung bekannt zu geben?

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Eine quadratische Funktion mit einer Nullstelle bei x= 1, deren Hochpunkt auf der y- Achse liegt, schließt mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt 1 ein. Finde die Funktion heraus.

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OK, dann sind Deine 3 Gleichungen korrekt.

Nach dem b bekannt ist sind es nach Einsetzten nur 2 Gleichungen...

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Kannst du mir helfen wie ich jetzt b in die 2 Gleichungen einsetze? Ich verstehe es nicht. Wie lautet die Gleichung dann?

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Wenn b=0, dann verschwinden die b-Summenden in den beiden anderen Gleichungen:

{a + c = 0, 1 / 3 * a + c = 1}

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Wie löse ich jetzt das Gleichungssystem? z. B nach dem Gauss-Algorithmus bzw. was ist der nächste Schritt um an die 3 Unbekannten zu kommen

Answer 1

Hallo,

wenn der Scheitelpunkt der Parabel auf der y-Achse liegt, ist sie symmetrisch zu dieser und hat die Form

$f(x)=ax^2+c$

Die Stammfunktion lautet entsprechend $F(x)=\frac{1}{3}ax^3+cx$ und die Aussage über den Flächeninhalt ergibt, wie du richtig geschrieben hast, F(1) - F(0) = 1, also hast du damit die 1. Gleichung

$F(1)-F(0)=1\Rightarrow \quad =\frac{1}{3}a+c=1$

und die 2. ergibt sich aus der Nulstelle bei x = 1

$f(1)=0\Rightarrow a + c = 0$

Den Rest schaffst du sicher selber, sonst frage nochmal nach.

Gruß, Silvia

Comments

Wie löse ich zunächst das Gleichungssystem, um zunächst auf die 3 Unbekannten zu kommen? Ich komme da nicht mehr weiter.

a + b + c = 0

b = 0

1/3 * a + 1/2 * b + c = 1

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Der Scheitelpunkt der Funktion ist auf der y-Achse, also ist die Funktion auch zur y-Achse symmetrisch, was heißt, dass nur x mit geraden Exponenten vorkommen.

Daher kannst du $f(x)=ax^2+bx+c$ auf $f(x)=ax^2+c$ reduzieren. Du suchst jetzt noch die Unbekannten a und c.

Die Nullstelle bei x = 1 ergibt

$f(1)=0\Rightarrow a + c = 0$

Das ist die 1. Gleichung.

F(1) - F(0) = 1

Die Stammfunktion F lautet $F(x)=\frac{1}{3}ax^3+cx$, also

$F(1)-F(0)=\frac{1}{3}a+c-0=1$

Somit ist die 2. Gleichung $\frac{1}{3}a+c=1$

jetzt klar?

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Ich habe jetzt beide Gleichungen subtrahiert und folgendes herausbekommen: (a, c) = (0,1) ist das richtig?

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Wenn du die 2. Gleichung von der 1. subtrahierst, erhältst du

$a-\frac{1}{3}a+c-c=0-1\\ \frac{2}{3}a=-1\\a=-\frac{3}{2}=-1,5$

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Und jetzt noch in die erste Gleichung einsetzen und c berechnen oder?

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Genau, dann erhältst du c = 1,5, aber das weißt du ja schon aus deiner Lösung.