Es geht doch wohl darum:
\( \bigcup\limits_{i=1}^{n} \bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{i,j} \subseteq \bigcap\limits_{j=1}^{m} \bigcup\limits_{i=1}^{n} M_{i,j}\)
Zum Beweis wähle \( x \in \bigcup\limits_{i=1}^{n} \bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{i,j} \)
==> \( \exists i \in \{ 1,\dots , n \} x \in \bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{i,j} \)
==> \( \exists i \in \{ 1,\dots , n \} \forall j \in \{ 1,\dots , m \} x \in M_{i,j} \)
Wenn das x für alle j in \( M_{i,j} \) ist,dann ist es auch
für alle j in der Vereinigungen der \( M_{i,j} \) über die i .
Denn wenn etwas in einer der an der Vereinigung beteiligten
Mengen ist, dann ist es auch in der Vereinigung.
==> \( \forall j \in \{ 1,\dots , m \} x \in \bigcup\limits_{i=1}^{n} M_{i,j} \)
Und wenn es in allen Vereinigungen ist, dann auch im
Durchschnitt der Vereinigungen.
==> \( x \in \bigcap\limits_{j=1}^{m} \bigcup\limits_{i=1}^{n} M_{i,j} \) q.e.d.
