Fur jedes ¨ b ∈ R sei [(0, b)] = {(x, y) ∈ R 2 | y = x + b} eine Teilmenge des R 2 .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Für jedes $b \in \mathbb{R}$ sei
$[(0, b)]=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=x+b\right\}$
eine Teilmenge des $\mathbb{R}^{2}$.
a) Zeigen Sie, dass die Familie der Teilmengen $[(0, b)]$ über alle $b \in \mathbb{R}$ eine Partition des $\mathbb{R}^{2}$ bilden, also dass
$\mathbb{R}^{2}=\uplus_{b \in \mathbb{R}}[(0, b)]$
gilt.
b) Liefert die Familie die Mengen $[(m, b)]=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=m x+b\right\}$ iber alle Paare $(m, b) \in \mathbb{R}^{2}$ ebenfalls eine sinnvolle Partition des $\mathbb{R}^{2}$ ? Begrinden Sie Ihre Antwort.
c) Wir setzen für $(x, y) \in[(0, b)]: d([(x, y)])=d([(0, b)])=\frac{\sqrt{2 b^{2}}}{2}$ und definieren die Relation $R$ durch
$\left[\left(x_{1}, y_{1}\right)\right] R\left[\left(x_{2}, y_{2}\right)\right] \Leftrightarrow d\left(\left[\left(x_{1}, y_{1}\right)\right]\right) \leq d\left(\left[\left(x_{2}, y_{2}\right)\right]\right) .$
Ist $R$ eine partielle Ordnung? Belegen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Ich komme wirklich nicht weiter und finde keine Lösung. Ihr würdet mir sehr helfen mit Lösungsvorschlägen und Tipps

Answer 1

y=x+b ist eine Gerade. Verändert man den Wert von b, erhält man eine parallele Gerade. Wenn sich der Wert von b stufenlos ändert, überdecken diese Geraden die gesamte xy-Ebene!

Du kannst ja mal annehmen, dass es einen Punkt (x|y) der Ebene gibt, der auf keiner dieser Geraden liegt. Diese Annahme lässt sich durch Berechnung des erforderlichen b aus x und y widerlegen.

Comments

Wie soll ich einen Punkt annehmen der nicht in der Gerade liegt obwohl es schon von allen Überdeckt wird

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Was ich dir im ersten Teil meiner Antwort geschrieben habe war lediglich eine (hoffentlich verständliche) Beschreibung der Situation. Ich nehme an, dass du das nicht einfach nur um- bzw. beschreiben, sondern mathematisch exakt BEWEISEN sollst?

Da musst du schon etwas investieren. Ein von mir angeregter indirekter Beweis wäre eine Möglichkeit. Du kannst es natürlich auch anders machen.

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Könnte ich zb einmal x+b = x+b für Reflexivität beweisen. Dann die Symetrie und Transitivität?