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Aufgabe:

Beschreiben Sie die Beziehung zwischen einer kubischen und einer quartischen Funktion


Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathefreunde,

gegeben ist folgendes Gleichungssystem:

blob.png

Text erkannt:

\( f(1,2)=2088 \)
\( f(2,1)=1083,6 \)
\( f(2,3)=696,1333333 \)
\( f(5,6)=-10933,066667 \)
\( -3^{*} a^{*} 1,2^{4}+-2^{\star} b^{\star} 1,2^{3}+-1^{*} c^{\star} 1,2^{2}+f(1,2)^{\star} 1,2=G(1,2) \)
\( -3^{*} a^{\star} 2,1^{4}+-2^{\star} b^{\star} 2,1^{3}+-1^{*} c^{\star} 2,1^{2}+f(2,1)^{\star} 2,1=G(2,1) \)
\( -3^{*} a^{\star} 2,3^{4}+-2^{\star} b^{\star} 2,3^{3}+-1^{*} c^{\star} 2,3^{2}+f(2,3)^{\star} 2,3=G(2,3) \)
\( -3^{*} a^{\star} 5,6^{4}+-2^{*} b^{\star} 5,6^{3}+-1^{*} c^{*} 5,6^{2}+f(5,6)^{\star} 5,6=G(5,6) \)
\( G(x)=a^{*} x^{4}+b^{*} x^{3}+c^{*} x^{2}+d\, \textcolor{red}{x}\)  (edit korrektur)

Frage1: wie lauten die 2 Funktionen f(x) und G(x) ?

Frage2: wie ist die Beziehung dieser 2 Funktionen zueinander ? (Eine Zeichnung dazu wäre sehr schön).

(Diese Beziehung wurde hier in mathelounge bei einer meiner anderen Fragen von Moderator Profi Werner-Salomon bereits bewiesen.)

Vielen, vielen Dank im voraus für Eure Hilfe.

mit freundlichen Grüßen von der Weser

Martin

von

$$f(x)= \frac{200}{3}x^{3}-1120x^{2}+2022x+1159.2$$Tipp: Du solltest nicht danach fragen, wenn Du es schon weißt.

(Diese Beziehung wurde hier in mathelounge bei einer meiner anderen Fragen von Moderator Profi Werner-Salomon bereits bewiesen.)

das trifft hier nicht zu! Ich habe i.A. keine Zeit - melde mich nicht vor Dienstag Abend.

Hallo lieber Werner-Salomon,

ja, f(x) ist BEKANNT, aber ich habe / will doch hier einmal eine kubische Funktion zu einer quartischen Funktion integriert. Du hattes ja geschrieben, dass das Verfahren auch für höhere Polynome gilt und ich hatte es - diesesmal angefangen mit -3 ! - einmal ausprobiert, wusste aber nicht, ob SO auf diese Weise auch die Stammfunktion G(x) ebenfalls berechnet werden kann. Wir hatten ja zuletzt nur die Tangente berechnet.

Meine Frage war ja deshalb eine ANDERE / ANDERS formuliert: Kann man anhand dieses / meines Gleichungssystems + diesem Satz EBENFALLS integrieren ! Wenn DU also, - OHNE Anwendung der bereits bekannten Integration, - NUR anhand meines Gleichungssystem auf die exakt gleiche G(x) kämst, wüßte ich, das es passt.

Eine weitere Frage wäre dann nach einem Vorteil für dieses Verfahren.

Gute Nacht lieber Werner

Tschüß

Martin Hümer

Hallo Martin.

da bin ich wieder.

Du hattes ja geschrieben, dass das Verfahren auch für höhere Polynome gilt

ja - aber dieses Verfahren erzeugt aus einem Polynom n-ter Ordnung nur wieder ein Polynom n-ter Ordnung, und nicht höherer Ordung, Außerdem ist das was Du da oben machst, etwas anderes; und in weit das mit 'Integrieren' zu tun hat, das sehe ich nicht.

Ich probiere mal das \(g(x)\) zu berechnen und melde mich dann wieder.

Gruß Werner

Hallo lieber Werner,

ich hatte gerade gelesen, dass Du hier auch noch eine Anmerkung gemacht hast. Ich hatte für diese Frage heute morgen ganz unten schon etwas geschrieben.

G(x) IST die Stammfunktion von f(x). Leider hatte ich aber statt .... d*x nur .... d in der Gleichung stehen. Muss aber jetzt i.O. sein.

Für f(x) sind 4 Werte vorhanden, also ergibt es eine KUBISCHE Funktion.

G(x) hat aber schon als Grad die 4.

also Integration OHNE die bekannten Integrationsregeln.

Die Unbekannten a, b und c für das Polynom und für G(x) kannst Du ANDERE Unbekannte nehmen,

Du hattest - zu / bei einer anderen Frage - ja schon geschrieben, dass es sich nur eine Umstellung und um nichts Neues handelt. Gilt das AUCH hier für die Integration ?

f(x) mit a*x³ + b*x² + c

und die

Stammfunktion G(x) mit e*x^4 + f*x³ + g*x² + h*x (MÜSSEN ANDERE ! Unbekannte sein)

Ich bitte nochmals um Entschuldigung. Ich habe leider OBEN bei G(x) FALSCHE Unbekannten aufgeschrieben.

Vielen Dank.

Martin Hümer

3 Antworten

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Beste Antwort

Weißt Du beiläufig, wo in Deinem Post eine quadratische Funktion vorkommt?

Der Verweis auf GeoGebra ist ja schon mal erfolgt -

z.B. für Interpolationspolynome siehe

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/qvbtpky9

da hab ich Deine Eingaben eingepflegt, hoff ich jedenfalls?

Das kommt dann wie folgt

https://www.geogebra.org/m/rk7tjuyr

ggf. kannst Du damit was anfangen oder ggf. Rückfragen

(gerne auch ohne lieber^2 ;-)

von 18 k

Entschuldige bitte vielmals

Hallo wächter,

Ich habe diese Seite mit Bearbeiten, Seite durchsuchen aufgerufen und 2 Treffer erziehlt.

1x hier oben in dieser DEINER Antwort und 1x in meinem Text.

Mein Text "quadratische Funktion" bezog sich NUR auf das Gesamtprojekt und NICHT auf diese Aufgabe (weil es sich ja hier um kubische und QUARTISCHE Funktionen handelt). (Name ist ähnlich)

"Hut ab" für Deine Kenntnisse in geogebra.

Der ERSTE Link zu geogebra:

Dein Ergebnis für g(x) habe ich NICHT. Eigentlich müsste es die 1. Ableitung von G(x) sein oder entsprechend das berechnete f(x) der ersten 4 Zeilen des Gleichungssystems.

(Ich lass es aber erst einmal "so stehen", weil diese Aufgabe nur eine kurzfristige "dazwischen geschobene" Nebenrechnung war und dieses Ergebnis deshalb dafür erst einmal nicht so wichtig ist. Bei Gelegenheit werde ich vielleicht noch einmal darauf zurückkommen.)

ABER:

Der ZWEITE Link zu geogebra hat in Zeile 15 INTERESSANTERWEISE / MERKWÜRDIGERWEISE ! dann das RICHTIGE Ergebnis für G(x).

Ich werde demnächst eine neue "Frage" mit dem Anfang von allen Berechnungen aufmachen.

Vielen Dank

Martin Hümer

Ok, Du mußt Dich nicht entschuldigen, alles klar damit.

Der erste Link ist eine kommentierte Version zur Interpolation von kubischen Polynomen und hat erstmal nix mit Deiner konkreten Aufgabenstellung zu tun. Vielleicht willst Du damit experimentieren?

Ich hab die App nur als Vorlage genommen und Deine Angaben eingepflegt - darauf verweist der 2. Link. Es ist also nicht "merkwürdig" sondern Absicht ;-)...

Danke für die Rückmeldung - es gibt ein Update (auf dem 2. Link) damit die auf die ursprügliche Aufgabe bezogene Aussage, daß die Punkte verändert werden können und die Berechnung angepasst wird auch für Deine Aufgabe zutrifft. Dazu hab ich die Berechnung Deines f-Polynoms (fa) vorangestellt. Dein G(x) heißt bei mir fo(x).

Ich mußte Deine Gleichungen umstellen damit alle Variablen linkseitig versammelt sind (f(x)->fa(x) nach rechts G(x)->fo(x) nach links) - die Schablone fn(x) beschreibt den linken Term mit den Koeffizenen(-3,-2,-1).

A-> fn(x(A)) - fo(x(A)) = -f_a(x(A)) x(A)

analog B,C,D -> L Gleichungssystem

Den Rest besorgt die App...

blob.png

Ach noch was, wenn Du die App behalten willst lade sie evtl. runter ich werde sie nach einiger Zeit runternehmen!

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Hallo

du müsstest doch genauer sagen, was du hier nicht selbst kannst.

entweder beschaffe dir geogebra, ein tolles Umsonst- Programm zum zeichnen und Funktionen plotten, oder benutze plotlux hier im Forum, Staat nach Bildern zu fragen.

Um Gleichungsysteme auszurechnen gibt es im Netz Programme, auch dazu brauchst du also keinen extra Profi.

https://matrixcalc.org/de/slu.html

oder https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

Gruß lul

von 93 k 🚀

Hallo lieber lul,

ja, Seite von Arndt-Brunner ist mir bekannt und ich benutzte diese ebenfalls.

f(x) ist bekannt und G(x) ist die Stammfunktion, (alles bekannt) -

ABER ich weiss nicht, ob die Berechnung / der Rechnenweg DORTHIN über mein Gleichungssystem ebenfalls funktioniert. (siehe die vorletzten 4 Gleichungen. Die letzte Gleichung ist dabei nur Info).

Vielen, vielen Dank im voraus lieber lul,

Gute Nacht

Martin Hümer

hallo

das verstehe ich nicht, wenn du die Gleichungen lösen kannst mit Brunner etwa , kannst du doch feststellen was rauskommt?

Also wo genau liegt das Problem?

Gruß lul

Hallo lieber lul,

1.) Beispiel:

ich benötige u.a. z.B. 4 Werte b1, b2, b3 und b4.

Brunner lässt aber nur Unbekannte mit einem Buchstaben zu, d.h. ich muss da improvisieren und leider 4 verschiedene Buchstaben benutzen, was das ganze unübersichtlicher macht.

In meinem ganzen Gleichungssystem ist desweiteren nur eine Konstante vorhanden. Ergebnis;

Bei Verringerung dieses Wertes ändern sich auch alle anderen Werte. Bei einer (theoretischen) Fläche von 0 hätten ALLE Unbekannten ebenfalls den Wert 0.

Es kommen vor: Sekanten, Tangenten, quadratische und kubische Funktionen, Integration.

2.) AUSSER meinem Gleichungssystem kann ich aber den professionellen mathematischen Rechenweg z.B. mit Summenformeln usw. nicht herleiten und keine Zeichung erstellen. Deshalb ist es sehr schwierig für mich, meine Gedanken bezüglich der KOMPLETTEN Aufgabe (hier 6 Teilaufgaben) mitzuteilen.

Ich war früher kaufmännischer Angestellter sogar ohne Abitur und Mathematik ist für mich schon seit langem NUR ein schönes Hobby.

Damit meine idee nicht für den Papierkorb ist, hatte ich laienhaft versucht, Euch das GESAMTPROJEKT über Teilaufgaben näher zu bringen, d.h. jede diese Aufgaben (so wie diese hier) MUSS dann auch einzeln für Jeden lösbar sein. Alle Werte für f(x) kommen dann aus einem anderen Teil, der hier für DIESE Berechnung nicht bekannt ist. Deshalb hatte ich für f(x) nur als Anfangsbedingung die passenden Werte VORDEFINIERT.

Es geht mir also hier nicht um das (mir bekannte) Ergebnis, sondern um Euren ausführlichen Rechenweg dorthin.

Vielen, vielen lieben Dank im voraus für Deine Hilfe

Tschüß

Martin Hümer

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Hallo Martin,

\(G(x)=a^{*} x^{4}+b^{*} x^{3}+c^{*} x^{2}+d^{*} x \)
d.h. statt FALSCH nur d MUSS es d*x = lineares Glied heißen.

Ok - dann wird was draus.

Frage1: wie lauten die 2 Funktionen f(x) und G(x) ?

$$f(x)=\frac{200}{3}x^{3}-1120x^{2}+2022x+1159,2 \\ G\left(x\right)=\frac{100}{6}x^{4}-\frac{1120}{3}x^{3}+1011x^{2}+1159.2x$$


Frage2: wie ist die Beziehung dieser 2 Funktionen zueinander ? (Eine Zeichnung dazu wäre sehr schön).

\(G(x)\) ist die Stammfunktion von \(f(x)\) und das ist auch keine Überraschung, wenn man das Gleichungssystem umstellt. Ich bezeichne jede der Stützstellen ganz allgemein mit \(x\). Dann steht dort für vier verschiedene Werte$$-3 ax^{4}-2bx^{3}- cx^{2}+xf(x)=G(x)$$Und \(G(x)\) ist laut der Vorgabe \(G(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx\); und das setze man ein und stellt die Gleichung etwas um:$$\begin{aligned} -3 ax^{4}-2bx^{3}- cx^{2}+xf(x)&=G(x) &&\left|\, G(x)= \dots\right.\\ -3 ax^{4}-2bx^{3}- cx^{2}+xf(x)&=ax^4+bx^3+cx^2 + dx &&\left|\, +3ax^4 + \dots\right.\\ xf(x)&=4ax^4+3bx^3+2cx^2 + dx &&\left|\,\div x\right.\\ f(x)&=4ax^3+3bx^2+2cx + d &&\left|\,\int \right. \\ \int f(x)\,\text{d}x &= ax^4+bx^3+cx^2+dx \\ \int f(x)\,\text{d}x &= G(x) \\ \end{aligned}$$und heraus kommt die Stammfunktion von \(f(x)\). Das ist ganz allgemein gültig, egal welche vier unterschiedlichen Stützstellen man wählt!

Und dies hat auch eine Beziehung zu dem 'Satz von Martin' ;-), den ich in meiner Antwort zu Berechnung einer kubischen Funktion formuliert habe.

Ich postuliere die dort erwähnte Abbildung eines Polynoms als Abbildung \(H\). Sei \(p\) ein (beliebiges) Polynom der Form$$p(x)= \sum\limits_{k=0}^{n} c_{k} x^k $$dann ist die Abbildung \(H(p)\)$$H(p(x)) = H\left(\sum\limits_{k=0}^{n} c_{k} x^k\right) = \sum\limits_{k=0}^{n} c_{k}(1-k) x^k$$Dann ist \(H(p)\) so ähnlich wie die rechte Seite der obigen Gleichungen. Wenn man das einsetzt ergibt sich daraus:$$H(p) + xp'(x) = p(x) \\ \implies H(p) = p(x) - xp'(x)$$und dies ist genau der Schnittpunkt der Tangente an \(p\) an der Stelle \(x\) mit der Y-Achse.

Gruß Werner

von 45 k

Hallo lieber Werner,

zuerst einmal: DIESE Aufgabe hat nicht unmittelbar mit meinem "Großprojekt" zu tun. Ich hatte diese Aufgabe NUR ZUSÄTZLICH mit aufgenommen, weil Du vom "Satz von Martin" geschrieben hattest. Dazu werde ich aber später irgendwann einmal noch eine neue Aufgabe aufmachen.

Ich wollte diesen "Satz" einmal auf eine Integration einer kubischen Funktion anwenden, weil Du ja geschrieben hattest, dass das Verfahren auch für höhere Polynome gültig ist.

Die ersten 4 Zeilen des Gleichungssystems beschreiben ja wieder die bekannte f(x). Wertzuweisungen hier deshalb, weil - wegen des kurzen Gleichungssystems - sonst diese Werte aus keinem anderen Programmteil übernommen werden können.

Gleichung 5 bis 8:

sind ja die Tangenten(x) + b = Berührpunkte der Stammfunktion G(x)

Dabei gehören die ersten 3 Terme wieder zum UMGEWANDELTEN b = dieses Mal hier eine quartische (Hilfs)Funktion H ?(x).

Die vierten Terme beschreiben ja die Verbindung der Tangenten von der Stelle 0 bis zur Stelle der Berührpunkte, also 1. Ableitung * Breite.

Bei der letzten Gleichung ist mir LEIDER (wieder) ein bedauerlicher Fehler unterlaufen, für den ich um Entschuldigung bitte.

Mit dem Rechner von Brunner kamen die korrekten Zahlen zustande, aber bei der manuellen Übertragung in "Schriftform" ist es dann LEIDER passiert.

Diese Gleichung muss korrekt wie folgt heißen:

blob.png

Text erkannt:

\( G(x)=a^{*} x^{4}+b^{*} x^{3}+c^{*} x^{2}+d^{*} x \)

d.h. statt FALSCH nur d MUSS es d*x = lineares Glied heißen.

(Als ich vorhin zuerst die krummen Werte von G(x) sah, war ich überrascht / erschrocken und musste erst einmal (längere) Zeit suchen und rechnen.

Für G(x) müsste die STAMMFUNKTION von f(x) herauskommen.

Vielen, vielen Dank im voraus

Ich gehe erst einmal zum Arzt. Krankenkarte einlesen, Medikamente bestellen und sehe mir nachmittag die anderen Fragen an.

Bis dahin

Tschüß

Martin Hümer

Text erkannt:

\( G(x)=a^{*} \mathbf{x} \)


Stammfunktion G(x) mit e*x^4 + f*x³ + g*x² + h*x
Bei der letzten Gleichung ist mir LEIDER (wieder) ein bedauerlicher Fehler unterlaufen, für den ich um Entschuldigung bitte.

Stammfunktion G(x) mit e*x^4 + f*x³ + g*x² + h*x (MÜSSEN ANDERE ! Unbekannte sein.)
Mit dem Rechner von Brunner kamen die korrekten Zahlen zustande, aber bei der manuellen Übertragung in "Schriftform" ist es dann LEIDER passiert.
Ich bitte nochmals um Entschuldigung. Ich habe leider OBEN bei G(x) FALSCHE Unbekannten aufgeschrieben.


Vielen Dank.

Martin Hümer

Diese Gleichung muss korrekt wie folgt heißen:
\(G(x)=a^{*} x^{4}+b^{*} x^{3}+c^{*} x^{2}+d^{*} x \)

ich habe meine Antwort dahingehend geändert (s.o.)

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