Polynomdivison in Z/3z

Question

Aufgabe:

Sie befinden sich in ℤ/3ℤ

f(x)= x⁶+4x⁵ +3x⁴ +7x ² -x-1 g(x)=x² +2x

1. Teile f durch g

z(x)=2X ³ −X +1  w(x)=X ³+ X

2.Machen sie z(w(x)

Problem/Ansatz:

Ich bin sehr verwirrt von dem minus rechnen im Ring, bei der 2 hätte ich jetzt 2x ⁹ +2x³ +x+1  weiß aber nicht ob das so stimmt wegen dem behandeln vom -x

und bei der 1: x^4+2x^3+x^2+2x+1

Stimmmt das?

Answer 1

Hallo

z(w)=2(X^3+ X)^3-X^3-X+1

1. X^9=x^0=1  in ℤ/3ℤ   ebenso x^3=1,

Minus ist wie mit ganzen Zahlen,  (-1=0-1=3-1=2  -2=1  ) nur statt dividieren multipliziert man mit dem Inversen.

Gruß lul

Comments

Hallo, ich weis, dass z(w)=2(X3+ X)3-X3-X+1 so aus sieht und dann das - zu 2x immer tauschen →z(w)=2(X^3+ X)^3+2X^3+2X+1

Ich dachte die Exponenten muss man nicht verändern hmm

---

Hallo

muss man nicht, da ja da auch x^3 statt 1 steht, macht aber vieles einfacher, in ℤ/3ℤ kann man natürlich mit irgendwelchen Repräsentanten rechnen ob man also x^9 oder x^0 oder x^12 schreibt ist alles dasselbe.

Gruß lul

---

Okay dann kann man das behalten cool, dann müsste ja 2x 9 +2x3 +x+1 stimmen oder?

---

Die Aussage X^3=1 ist falsch. Exponenten in Polynomringen sind per Definotion natürliche Zahlen einschließlich 0, unabhängig vom zugrundeliegenden Koeffizientenring.

---

Also bleiben die Exponenten erhalten?

---

Hallo

in ℤ/3ℤ ist x^9=x^3=x^0

lul

---

Das entspricht nicht meiner Erfahrung und auch nicht der Definition in Wikipedia.

Dann wär auch die Eingangsdefinition von f albern.

---

Okay ich bin verwirrt.

---

Hallo Mathhilf

Ich lasse mich gern verbessern: warum ist in ℤ/3ℤ nicht x^9=x^3=x^0?  auch ich finde die Eingangsdefinition von f deshalb als eigenartig.

lul

---

Weil das so nicht definiert ist. Du kannst bei Wikipedia über Polynomringe nachlesen. Oder Du kannst Dich fragen, was soll  z.B. in \(\Z/3\Z\) gelten:

$$2^3=2^0=1 \text{  oder }2^3=2\cdot 2 \cdot 2 =8=2$$

---

Kann mir bitte jemand den Wikipedia Artikel verlinken

---

Bzw. Zurück zum Rechnen, also lasse ich die Exponenten einfach stehen und rechne den Rest wie im Ring

---

Hallo Mathhilf Danke! das Beispiel ist ja sehr einleuchtend, dumm von mir. An the Lady : ja lass die Potenzen stehen.

lul

---

Vielen dank an euch zwei ich konnte es jetzt lösen