Aufgabe:
a) Wir betrachten den \( \mathbb{R} \)-Vektorraum der reellen Polynome \( \mathbb{R}[X] \) zusammen mit dem Untervektorraum \( U:=\{f(X) \in \mathbb{R}[X] \mid f(1)=f(2)\} \). Zeige, dass \( \mathbb{R}[X] / U \cong \mathbb{R} \) gilt.
Hinweis: Benutze eine geeignete Abbildung \( \phi: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R} \) und den Homomorphiesatz.
Problem/Ansatz:
Habe Schwierigkeiten eine geeignete Abbildung zu finden ( Momentan sowieso Verständnisprobleme in Algebra). Meine Überlegung:
Eine geeignete Abbildung f: R[X] -> R finden, wobei U= Kern (f) und R = f(R[X]) ist. Glaube R = f(R[X]) ist ja ein logischer Schluss der Abbildung. Laut dem Homomorphiesatz müsste dann R[X]/U isomorph zu R sein.
