Berechnung der genauen Bogenlänge einer Ellipse durch Ihre inverse Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnung der genauen Bogenlänge einer Ellipse durch Ihre inverse Funktion

Problem/Ansatz:

Ellipse    $\displaystyle\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{25}=1$, mit $a=8$, $b=5$, Halbachsen

$\displaystyle y=\pm 5\cdot\left(1-\frac{x^{2}}{64}\right)^{0.5}$  Vereinfachung für die Bogenlänge: $$\displaystyle y=2\cdot\frac{5}{8}\cdot(8-x)^{0.5}\cdot(8+x)^{0.5}=\frac{5}{4}\cdot y_{\operatorname{inv}1}\cdot y_{\operatorname{inv}2}$$$y_1=-x^2+8,\quad y_2=x^2-8,\quad y_1=-y_2$    $y_{\operatorname{inv}}$=inverse Funktion

die Bogenlänge von y und y_inv sind gleich, in den entsprechenden modifizierten Grenzen, deshalb eine Integration von y*y

einfaches Beispiel für die Berechnung der Bogenlänge einer linearen Funktion y=nx in den Grenzen von 0 bis a:

Bogenlänge: B=Integral (1+(y')²)^0.5 dx, für das gewählte Beispiel y=nx ergeben sich folgende Gleichungen in den Grenzen

allgemeiner Ansatz: 1. (Integral von 0 bis a (1+(y₁')²)^0.5 dx)², dieses Integral ist immer lösbar.....

                                2. Integral von 0 bis a (1+((y₁*y₂)')²)^0.5 dx

y=nx, daraus folgt:   1. (Integral von 0 bis a (1+n²)^0.5 dx)²=1/4(a₁*(a₁²+1)^0.5+sinh^(-1)(a₁))²

                                2. Integral von 0 bis a (1+(2n²*x)²)^0.5 dx=1/4(2a₂(4a₂²*n⁴+1)^0.5+sinh^(-1)(2a₂*n²)/n²)

Koeffizientenvergleich ergibt: a₁=2a₂*n²  

mein Beispiel: siehe oben schwarzer Text

Modifizierung der Integrationsgrenzen der inversen Funkion zur echten Funktion:

Plotlux öffnen

f₁(x) = -x²+8f₂(x) = (8-x)^0,5x = 8^0,5f₃(x) = 8f₄(x) = 8^0,5Zoom: x(-10…10) y(-10…10)

Integrationsgrenzen: untere Grenze: x=0   obere Grenze x=8^0.5
5/4*(Integral von 0 bis 8^0.5 (1+(-x^2+8)')^2)^0.5 dx)^2=5/4*(sinh^(-1)(2x)/4+x*(4x^2+1)^0.5/2)^2
a₁=2x   x=a₂, daraus folgt für die eingesetzten Grenzen: a₁=8^0.5, daraus folgt: a₂=2^0.5, n=2   (y=-x^2+8, y'=-2x=-nx)
5/4 Integral von 0 bis 8^0.5*(1+(((x^2-8)(-x^2+8))')^2)^0.5 dx= 2. =5/4*(2a₂*(4a₂^2*n^4+1)^0.5+sinh^(-1)(2a₂n^2)/n^2))=
41,1313    vgl. bisherige Bogenlänge: 41,38628   = Gesamtbogenlänge der Ellipse mit a=8 und b=5
https://www.wolframalpha.com/input?i=5%2F4*%28%282x*%284x%5E2*n%5E4%…
Ich hoffe, dies ist alles richtig, Dankeschön für die Antworten/Bewertungen, ich weiß, ziemlich umfangreich, aber es ging nicht anders. Viele Grüße, Bert Wichmann!

Comments

Dankeschön für die Bearbeitung!

Viele Grüße, Bert Wichmann!

Answer 1

Hallo

(Integral von 0 bis a (1+n²)^0.5 dx)2=1/4(a1*(a12+1)0.5+sinh^(-1)(a1))2

verstehe ich nicht richtiges Ergebnis ist (1+n²)^0.5*a Die Länge bekommsst du auch raus, wenn du einfach die Länge der Streck von (0,0) bis (a,na) ausrechnest.

was die Integration von y*y=y² soll verstehe ich auch nicht für die Bogenlange musst du doch √(1+f'²) integrieren? oder wenn du die Umkehrfunktion benutzen willst statt f eben f^-1

Leider bin ich auch nicht dahinter gekommen was a1 und a2 sind oder woher sie kommen

lul

Comments

ich habe geschrieben: Integral ((1+((y₁*y₂)')²)^0.5 dx=B

y*y=y²     es sind doch zwei gleiche Bogenhälften, die man multipliziert, um die Gesamtbogenlänge zu erhalten, rechts und links von x=0

ich war davon ausgegangen, das das (Integral (1+(y₁')²)^0.5)²*einem konstanten Faktor gleich B ist, was falsch war, da musste ich mich korrigieren, die einzusetzenden  Integrationsgrenzen a_i mussten mit modifiziert werden

die Ausgangsgleichung lautete: y=5/4*y₁*y₂ und da die Bogenlänge berechnen funktioniert nicht so einfach für eine Ellipse, für mein einfaches Beispiel schon....

es wird schon alles stimmen, habe die Gleichung allerdings noch nicht für andere Achsenverhältnisse überprüft....

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Die Integrationsgrenzen a_i mussten zueinander in ein Verhältnis gebracht werden und anschließend modifiziert werden.......!!!! ....für Gleichung 1 und 2

Ich hätte vielleicht noch ausdrücklich dazuschreiben müssen, daß:

a₁=2x richtig ist!!!!!!

das war es dann, viele Grüße, Bert Wichmann!

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Hallo

zu der "Bogenlänge" des Geradenstückes die ich im 1. post nicht verstand

(Integral von 0 bis a (1+n2)0.5 dx)2=1/4(a1*(a12+1)0.5+sinh^(-1)(a1))2

hast du nichts gesagt-

2. (y')² und (y²)' sind 2 sehr verschiedene Dinge (y²)'=2y*y'

den Satz "es sind doch zwei gleiche Bogenhälften, die man multipliziert, um die Gesamtbogenlänge zu erhalten" verstehe ich auch nicht. Bogenlängen zu multiplizieren macht keinen Sinn? D multiplizierst anscheinend 2 Zweige einer Lösung, nicht 2 Bogenlängen? Aber es reicht doch 1/4 der Bogenlänge auszurechnen da ist y immer >0 oder immer <0  , und die Grenzen des Integrals sind immer x von 0 bis a, wenn du über die Umkehrfunktion integrierst eben 0 bis b.

"es wird schon alles stimmen" warum fragst du dann?

lul

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Ich bin kein "Seiltänzer", möchte eine Absicherung....! "Warum fragst Du dann?"

Bei der Geraden habe ich beide Integrale ausgerechnet, auf legalem Weg und dann einen Koeffizientenvergleich durchgeführt, also einen Zusammenhang zwischen den beiden Rechenmethoden durchgeführt.....und diesen dann Übertragen auf mein eigentliches Ellipsenproblem.

Es macht doch Sinn, dies habe ich gezeigt, die beiden Ellipsenteillängen zu multiplizieren.

Die allerbesten Grüße, Bert Wichmann!

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Wenn man Längen multipliziert kommen Flächen raus!

lul

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y_1invers*y_2invers=y_{gesamt invers} und davon möchte ich die Bogenlänge, die Aufspaltung einer Funktion, kann sein, daß dies eine Fläche ist, die ich nicht suche......

das Quadrat bei (Integral .....dx)² interessierte ja auch nicht, siehe Koeffizientenvergleich.......

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Hallo

kannst du mal für ein konkretes Einfachs Beispiel wie y=2x²+3 sagen was dein y1invers*y2invers=ygesamt invers

ist , den ich bin dafür offensichtlich zu dumm allerdings

für mich ist yinv hier sqrt((x-3)/2)

im Bild y  grün und die Inversen der 2 Teilfunktionen lila und rot, ihr Produkt orange. Jetzt du: was hat die Kurvenlänge der orangen Kurve mit der der Parabel zu tun?

und nochmal  zu (Integral von 0 bis a (1+n²)^0.5 dx)²= =1/4(a1*(a12+1)0.5+sinh^(-1)(a1))20.5+sinh^(-1)(a1))²

warum ist das eine "legale" Rechnung, wenn das richtige Ergebnis ist : √(1+n²)*a oder mit dem Quadrat des Integrals , (das ich nicht verstehe( (1+n²)*a²

lul

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Bei dieser Funktion kann man die Inversen nicht so bilden wie bei einer Ellipse, nebensächlich....!

Das Wichtigste war jedoch die Lösung des bisher nicht lösbaren Integrales !!!!!!!

Das Quadrat, ein Versehen meinerseits, wurde in der gesamten Berechnung nicht berücksichtigt.

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Hallo

 Gut für dich, wenn du das glaubst. die Diskussion beende ich dann.

Gruß lul

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Bei der linearen Funktion, dem einfachen, von mir aufgeführten Beispiel habe ich anstatt nach x, nach n integriert, ein kapitaler Fehler.....!

Viele Grüße, Bert Wichmann!