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Wie bestimmt man, ohne den graph als Hilfestellung zu nehmen formal die Steigung (es geht um differenzierbarkeit) einer Funktion, speziell die einer fkt mit zb einer knickstelle an x=0 (f(x)= Betrag von x. Man muss ja gucken, ob f'(x) von links der Grenzwert = dem Wert von rechts ist, aber wie berechnet man das? Man kann ja nicht f'(-0,00000001) und f'(0,00000001) miteinander vergleichen, das wäre nicht mathematisch genug ^^
von

2 Antworten

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Du nimmst halt den Grenzwert

f(x) = |x|

f'(x) = 1 für x > 0
f'(x) = -1 für x < 0

lim (h → 0+) f'(x + h) = 1

lim (h → 0+) f'(x -h) = -1

Da der rechtsseitige Grenzwert ungleich dem Linksseitigen ist haben wir eine Knickstelle an der die Funktion nicht differenzierbar ist.
von 268 k
Wieso unstetig?
sorry. ist natürlich stetig aber nicht differenzierbar. gut aufgepasst.
Uns wie kommt man rechnerisch auf den Grenzwert? Oder ists schon genug die Stückweise definierte fkt(Ableitung) zu nennen und daraus zu folgern?
Hier ist das so ohne weiteres möglich, weil die Ableitung ja nicht mehr selbst vom x abhängt.
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Hallo,


zum Beispiel mit der h-Methode (h>0 wird beliebig klein):

[f(x+h) - f(x)]/h =

(|x+h|-|x|)/h


1. Fall x>0

(|x+h|-|x|)/h =

(x + h - x)/h = h/h = 1


2. Fall x<0

(|x+h|-|x|)/h =

(-h - x + x)/h = -h/h = -1


Besten Gruß
von 32 k

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