Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion zu fk(x)=x2*ekx mit k e R..

Question

Aufgabe:

Parameterfunktionen II
a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion zu fk(x)=x²*e^kx mit k e R..
b) Berechnen Sie die Wendepunkte von Fk
c) Bestimmen Sie die Funktion g, auf derem Graphen die Extrempunkte von fk liegen.
d) Gibt es gemeinsame Punkte der Graphen der Funktionenschar?

danke schonmal im voraus für antworten! ;

Comments

Zu welcher Teilaufgabe hast du Fragen?

Und du hast doch hoffentlich, bevor du die Frage abgeschickt hast, schon die ersten beiden Ableitungen gebildet, damit wir eine Diskussionsgrundlage haben?

---

Ja die Anleitungen habe ich schon

f’(x)=2x*e^kx

f”(x)=2x*e^kx

f”’(x)=e^kx

---

Deine Ableitungen sind leider nicht richtig.

---

Ja die Anleitungen habe ich schon

Dann versuche es noch einmal. Diesmal am besten MIT Anwendung der Produktregel (wobei du bei der Teilableitung von e^kx auch die Kettenregel brauchst).

Answer 1

a) f '(x)=e^kx(kx²+2x) hat Nullstellen für x=-2/k und x=0.

Answer 2

Hallo,

$f_k(x)=x^2\cdot e^{kx}$

Bilde die Ableitungen mit der Produktregel $f(x)=u(x)\cdot v(x)\Rightarrow f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$ und berücksichtige für e-Funktionen $f(x)=e^{kx} \quad f'(x)=k\cdot e^{kx}$.

Die 1. Ableitung bildest du daher so:

$f(x)=x^2\cdot e^{kx}\\ u=x^2\quad v=e^{kx}\\ u'=2x\quad v'=ke^{kx}\\ f'_k(x)=2x\cdot e^{kx}+x^2\cdot ke^{kx}\\ =e^{kx}\cdot (2x+kx^2)$

Die 2. Ableitung bildest du analog mit $u=e^{kx}$ und $v=(2x+kx^2)$

a) Setze die 1. Ableitung = 0 und löse nach x in Abhängigkeit von k auf.

$e^{kx}\cdot (2x+kx^2)=0$

Da e mit einem Exponent nie null werden kann, brauchst du nur die Gleichung $2x+kx^2=0$ zu lösen.

b) Setze die 2. Ableitung = 0 und löse nach x auf.

c)  Ortskurve - Du hast zwei Extremstellen gefunden. (0|0) spielt keine Rolle, aber die x-Koordinate des anderen Punktes löst du nach k auf und setzt das Ergebnis für k in die y-Koordinate ein.

Dann erhältst du Gleichung der Ortskurve $y=x^2\cdot e^{-2}$

d) Bestimme den Schnittpunkte zweier Funktionen der Schar, indem du für k zwei beliebige Werte einsetzt. Ist das Ergebnis unabhängig von k, handelt es sich um einen gemeinsamen Punkt der Schar.

Gruß, Silvia