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Aufgabe:

Gegeben sei die Fläche F={(x,y,z)^T ∈ℝ | z = x^2+y^2}. Wie kann man den Punkt auf der Fläche bestimmen, der dem Punkt (1,1, 12 \frac{1}{2} )^T am nächsten liegt?

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Hallo,

man könnte die Aufgabe um eine Dimension reduzieren, da das ganze symmetrisch zur Ebene x=yx=y ist. Aber es ändert sich nichts am Prinzip der Lösung, daher mache ich es nicht.

Gesucht ist ein Punkt QQ, der zu einem anderen Punkt P=(110,5)TP=(1|1|0,5)^T den kleinsten Abstand ab. Idealerweise sucht man das kleinste Quadrat des Abstands, da sich dies leichter rechnen lässt. Und als Nebenbedingung soll QQ auf dem Paraboliden liegen(XP)2minNB. :  z=x2+y2P=(110,5), Q=(xyz)\left(X-P\right)^2 \to \min \quad \text{NB.:}\space z=x^2+y^2 \quad P=\begin{pmatrix} 1\\1\\ 0,5 \end{pmatrix}, \space Q=\begin{pmatrix} x\\y\\ z \end{pmatrix}Lagrange-Gleichung aufstellen nach xx, yy und zz ableiten, 0-setzen und λ\lambda eliminierenL(x,y,z,λ)=(x1)2+(y1)2+(z0,5)2+λ(x2+y2z)Lx=2(x1)+2λx0Ly=2(y1)2+2λy0Lz=2(z0,5)λ0    λ=2z1x1+x(2z1)=0    2xz=1y1+y(2z1)=0    2yz=1    z=12xx=y12x=2x2    x=y=1430,630L(x,y,z,\lambda) = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-0,5)^2 + \lambda(x^2+y^2 - z) \\ \frac{\partial L}{\partial x} = 2(x-1) + 2\lambda x\to 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 2(y-1)^2 + 2\lambda y \to 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 2(z-0,5) - \lambda \to 0 \implies \lambda = 2z-1\\ x-1 + x(2z-1) = 0 \implies 2xz=1\\ y-1 + y(2z-1) = 0 \implies 2yz = 1 \\ \implies z = \frac{1}{2x} \land x=y \\ \frac{1}{2x}=2x^2 \implies x=y=\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \approx 0,630wenn man am Ende den Zusammenhang z=1/(2x)z=1/(2x) in die Nebenbedingung einsetzt, dann kommt zum Minimum.

Dass es sich um ein Minimum handelt, ist offensichtlich, wenn man sich das im Schnitt der (x=y)(x=y)-Ebene ansieht

Gruß Werner

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hallo

a) die senkrechte von P auf F ist die kürzeste Verbindung geometrisch

b) Abstand eines Punktes auf F von P bestimmen und min finden

c)Sinusse sie Ebene aus der Achse des Parabboloids und der Geraden OP mit dem Paraboloid, dann kleinster Abstand zu der Schnittparabel

Gruß lul

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