Hallo,
man könnte die Aufgabe um eine Dimension reduzieren, da das ganze symmetrisch zur Ebene x=y ist. Aber es ändert sich nichts am Prinzip der Lösung, daher mache ich es nicht.
Gesucht ist ein Punkt Q, der zu einem anderen Punkt P=(1∣1∣0,5)T den kleinsten Abstand ab. Idealerweise sucht man das kleinste Quadrat des Abstands, da sich dies leichter rechnen lässt. Und als Nebenbedingung soll Q auf dem Paraboliden liegen(X−P)2→minNB. : z=x2+y2P=⎝⎛110,5⎠⎞, Q=⎝⎛xyz⎠⎞Lagrange-Gleichung aufstellen nach x, y und z ableiten, 0-setzen und λ eliminierenL(x,y,z,λ)=(x−1)2+(y−1)2+(z−0,5)2+λ(x2+y2−z)∂x∂L=2(x−1)+2λx→0∂y∂L=2(y−1)2+2λy→0∂z∂L=2(z−0,5)−λ→0⟹λ=2z−1x−1+x(2z−1)=0⟹2xz=1y−1+y(2z−1)=0⟹2yz=1⟹z=2x1∧x=y2x1=2x2⟹x=y=341≈0,630wenn man am Ende den Zusammenhang z=1/(2x) in die Nebenbedingung einsetzt, dann kommt zum Minimum.
Dass es sich um ein Minimum handelt, ist offensichtlich, wenn man sich das im Schnitt der (x=y)-Ebene ansieht
Gruß Werner