Bestimme die zweite Ableitung einer e-Funktion

Question

Aufgabe:

$f(x)=3 x \cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}}, x \in \mathbb{R}$
Die Funktion $f$ hat die Ableitung
$f^{\prime}(x)=\left(3-3 x^{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}}$
1) Bestimme $f^{\prime \prime}(x)$
2) Untersuche $f(x)$ auf lokale Extremstellen

Problem/Ansatz:

Ich kann die erste Ableitung auf jeden Fall benutzen und muss Mit der Produkt und Kettenregel arbeiten.

Bin mir aber nicht sicher ob ich v‘ richtig ausgerechnet habe.

1) $\left(3-3 x^{2}\right)=u \quad u^{\prime}=6 x$
$e^{-\frac{1}{2} x^{2}}=v \quad v^{\prime}=-\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} x}$

Comments

$\left(3-3 x^{2}\right)=u \quad u^{\prime}=-6 x$  !

---

Text erkannt:

De Funtrion $f$ hat die Ableitung
$f^{\prime}(x)=\left(3-3 x^{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}}$

Okay das würde dann ja so aussehen. Siehe bild

Kann ich jetzt das -x plus -6x rechnen.

Also (-7x+3-3x^2) $\cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}}$

---

Nein, du musst erst noch mit $(3-x^2)$ mit (-x) multiplizieren.

$e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot (-6x-3x+3x^3)\\ f''=e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot(-9x+3x^3)$

---

Ah danke, kam mir auch  etwas komisch vor.

Answer 1

v' = -1/2*(2x)*e^(-1/2x²) = -x*e^(-1/2x²)

Es gilt:

f(x) = e^(g(x)) -> f '(x)= g'(x)* f(x)

Answer 2

u'= - 6·x

v'=-x·e^(-x²/2)

Answer 3

Alternativer Weg mit der Quotientenregel:

$\begin{array}{l} \frac{d f}{d x}=\left(3-3 x^{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot x^{2}}=\frac{3-3 x^{2}}{e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}} \\ u=\left(3-3 x^{2}\right) \\ \frac{d u}{d x}=(-6 x) \\ v=\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}\right) \\ \frac{d v}{d x}=\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}} \cdot x\right) \end{array}$
Quotientenregel:
$\frac{\frac{d u}{d x} \cdot v-u \cdot \frac{d v}{d x}}{v^{2}}$
$\frac{d^{2} \cdot f(x)}{d x^{2}}=\frac{-6 x \cdot\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}\right)-\left(3-3 x^{2}\right) \cdot\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}} \cdot x\right)}{\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}\right)^{2}}$
$\frac{d^{2} \cdot f(x)}{d x^{2}}=\frac{(-6 x)-\left(3-3 x^{2}\right) \cdot x}{e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}}=\frac{3 x^{3}-9 x}{e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}}$