Prüfe auf Beschränktheit , Obere untere Schranke , Infimum Supremum , minimum und Maximum

Question

Text erkannt:

PAURE AUR DESCUMANKTUEIT. UNTBA SVCME MONDOONIT.
GIB OAEKE,UNTEHE SCMIANICO, INRIAUA, MININUA, SUPAPAVN WND AAKINVA
AN.
\( c_{n}=n \sqrt{n+\frac{1}{n^{2}}} \quad n \in \mathbb{N}_{0} \)
\( \begin{array}{l} \text { CBGEN D DIVFU GIFNT. } \rightarrow \text { ES GIBT IVONR OOTUE } \\ \text { SCHT RONICE } \\ \end{array} \)
RBICT DOS AES BEGMUNNDUG ODER MUSS ICM DIS AUCH NOCH A MR TINB ANDRRE WEISE NACH WEISEN, DASS ES ICOINE ODORE SCMRONKO G/B1:2
DA DIR ANGADB SO PORMULIRNT IST: \( c_{n}=n \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n 2}} \), DENlCO \( 1 \mathrm{CH} \) DASS \( 1 \mathrm{CH} \) puia \( n \) NICAT \( n=0 \) EINJTTERN DARF OBWOUL IN DRK ANGABO \( n \in N_{0} \) SAPAT ICh SEGE, DASS Un NJR POSTIIVE WORTE ANNIMA. C \( (n=1)=\sqrt{2} \). I ch wU'A DE SJGON, DASS \( \sqrt{2} \) DAS INPIMUA IST UND DASS ALLE ZDULBN DIB KCOINER O BZW. KCEINEN OINFINUA IS1, DBEA CC GLDVBO, DASS DAS ZIN (DRUCK)PEHLER SEIN MUSS.
BIN SUPRBIUN UND MAXIMUN GX/SH/B ION NICNT DA On \( A \infty \)

Aufgabe:

Comments

Deine blau geschriebenen Texte sind kaum lesbar, schreib direkt hier rein, dafür nur die wesentlichen Teile-

lul

Answer 1

Die Umformung kannst du machen, aber für

"Es gibt keine obere Schranke" würde ich schon genauer argumentieren:

Sei c eine obere Schranke, also kann man c>0 annehmen und für alle n∈ℕ gilt

           c_n ≤ c

==>  √(n² + 1 ) ≤ c  nichts negativ, also quadrieren

==>   n² + 1  ≤ c²

==>  n²   ≤ c² - 1     wegen n≤n² 

==>   n   ≤ c² - 1  im Widerspruch zur Unbeschränktheit
                              der Folge der nat. Zahlen

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Danke mal für deine Antwort . Ich verstehe das nicht ganz ; bitte erkläre mir das genauer . zum Beispiel verstehe ich nicht was der "Widerspruch zur Folge der natürlichen Zahlen " ist

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Widerspruch zur Unbeschränktheit der Folge der nat. Zahlen

bedeutet:  Wäre es so, dass für alle  n∈ℕ

gelten würde:           n ≤ c² - 1

Dann wäre c²-1 eine obere Schranke für die

Folge der natürlichen Zahlen.

Eine solche Schranke gibt es aber nicht, manchmal

nennt man das auch "Axiom des Archimedes"

siehe etwa mit x=1

https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Axiom

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Danke.Ich glaube dass ich es jetzt verstehe . Ah so wegen des archimedschen axioms . Ich habe das vorhin vollkommen falsch interpretiert . Aber eine Unklarheit ist noch da : Wieso  musste quadriert werden "damit nichts negativ wird " . Ist die Wurzel von n² + 1 nicht für alle n positiv ? Und c sowieso eine positive Zahl ?

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Hallo

Es sind schon 24 Stunden vergangen , dass ich meine Rückfrage gestellt habe : ich bitte um Hilfe

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Wieso musste quadriert werden "damit nichts negativ wird " .

Das ist es nicht, sondern weil beide Seiten der Ungleichung

nicht negativ sind, kann man quadrieren und die

Ungleichung bleibt erhalten.

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Danke ! Eine Frage bleibt noch offen : Wieso steht in der Lösung dass 0 das infimum ist und nicht Wurzel von 2 ? Ist das ein Fehler oder habe ich etwas falsch gemacht als ich drauf kam dass wurzel von 2 das infimum ist . Falls es das zweitere ist : was habe ich falsch gemacht ?

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Da ist ein Fehler in der Aufgabe, angeblich ist es ja für n∈ℕo definiert,

aber für n=0 kann man keinen Wert berechnen. Also geht es

erst mit 1 los, und du kannst ja umschreiben

 \( c_{n}=n \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=n \cdot \sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}} = \sqrt{{n^2+1}} \)

Also inf=min = \( \sqrt{{2}} \)

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Vielen Dank . Eine Frage ist noch aufgetaucht . In der Lösung steht : Supremum liegt nicht im R . (Das R das die reellen Zahlen symbolisiert ). Mit diesen Satz kann ich nichts anfangen .

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Es sind schon 2 Tage vergangen ; ich bitte um Beantwortung meiner Rückfrage