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Riesenrad
Das Riesenrad hat einen Durchmesser von 120 m 120 \mathrm{~m} . Der Einstieg liegt in 4 m 4 \mathrm{~m} Höhe über dem Erdboden. Das Rad rotiert stets um 460 460^{\circ} , dann stoppt es kurz zum Ein- und Aussteigen.
a) In welcher Höhe befindet sich ein Fahrgast bei seinem fünften Z \mathrm{Z} wischenstopp?
b) Nach welcher Z Z ahl von Zwischenstopps kann man erstmals aussteigen?

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Aufgabe:

Siehe Bilder


Problem/Ansatz:

Könnte mir Jemand erklären wie man diese Aufgabe rechnet? Vielen Dank im Voraus !

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Der Rotationspunkt des Riesenrades befindet sich in 64m64\,\mathrm m Höhe. Die Höhe einer Gondel hängt vom Auslenkungswinkel φ\varphi ab. Bei φ=0\varphi=0^\circ ist die Gondel unten auf 4m4\,\mathrm m Höhe. Bei φ=90\varphi=90^\circ ist sie auf der Höhe 64m64\,\mathrm m des Rotationspunktes. Bei φ=180\varphi=180^\circ ist die Gondel ganz oben auf 124m124\,\mathrm m Höhe. Bei φ=270\varphi=270^\circ ist sie wieder auf Höhe des Rotationspunktes. Das können wir in einer Formel zusammenfassen:h(φ)=6460cos(φ)h(\varphi)=64-60\cdot\cos(\varphi)denn es gilt: cos(0)=1,cos(90)=0,cos(180)=1,cos(270)=0\cos(0^\circ)=1\,,\,\cos(90^\circ)=0\,,\,\cos(180^\circ)=-1\,,\,\cos(270^\circ)=0.

Bei seinem 5-ten Stopp ist der Fahrgast um 5460=23005\cdot460^\circ=2300^\circ rotiert:h(2300)109,96mh(2300^\circ)\approx109,96\,\mathrm m

zu b) Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 360360^\circ und 460460^\circ:kgV(360,460)=360460ggT(360;460)=36046020=8280\operatorname{kgV}(360,460)=\frac{360\cdot460}{\operatorname{ggT}(360;460)}=\frac{360\cdot460}{20}=8280Nach 8280460=18\frac{8280}{460}=18 Stopps, kann man wieder aussteigen.

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Ist vielleicht h(φ)=64 - 60·sin(φ)?

Dann wäre bei φ=0\varphi=0^\circ die Höhe 64m64\,\mathrm m. Der Einstieg ist aber auf 4m4\,\mathrm m Höhe.

Erstmals vielen Dank für deine Erklärung!

Jedoch bin ich mir unsicher wie ich auf diese Formel komme/ wie dort der Zusammenhang entsteht, vor allem wieso man auf den Cosinus und nicht den Sinus guckt.

Stell dir ein Koordinatensystem vor, dessen Ursprung am Drehpunkt des Riesenrads, also in 64m64\,\mathrm m Höhe befestigt ist. Der Winkel φ\varphi ist die Auslenkung der Gondel aus der Einstiegsposition ganz unten auf 4m4\,\mathrm m Höhe.

Bei φ=0\varphi=0^\circ steht die Gondel ganz unten: h(0)=4mh(0^\circ)=4\,\mathrm m.

Bei φ=90\varphi=90^\circ ist die Gondel auf Höhe des Drehpunktes: h(90)=64mh(90^\circ)=64\,\mathrm m.

Bei φ=180\varphi=180^\circ ist die Gondel ganz oben: h(180)=124mh(180^\circ)=124\,\mathrm m.

Bei φ=270\varphi=270^\circ ist die Gondel auf Höhe des Drehpunktes: h(270)=64mh(270^\circ)=64\,\mathrm m.

Bei φ=360\varphi=360^\circ steht die Gondel wieder unten: h(360)=4mh(360^\circ)=4\,\mathrm m.

Das heißt verkürzt:h(0)=6460h(0^\circ)=64\pink{-60}h(90)=64±0h(90^\circ)=64\pink{\pm0}h(180)=64+60h(180^\circ)=64\pink{+60}h(270)=64±0h(270^\circ)=64\pink{\pm0}Du brauchst nun eine Winkelfunktion, um die pinken Werte zu erhalten. Sinus passt nicht, da sin(0)=0\sin(0^\circ)=0 ist, wir aber was von der 6464 subtrahieren müssen. Cosinus passt besser, weil cos(0)=1\cos(0^\circ)=1 ist. Wir müssen also 60cos(0)60\cdot\cos(0^\circ) subtrahieren. Dieser Term passt auch für alle anderen pinken Werte.

Daher ziehen wir von der 6464 immer 60cosφ\pink{60\cdot\cos\varphi} ab.

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