Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert:

Question

Aufgabe

Untersuchen Sie, ob folgende Grenzwerte existieren. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert:

a) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (3+2 x)}{\ln \left(1+3 x^{2}\right)} \)

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+4}{x}\right)^{3 x+1} \).

Problem/Ansatz:

Ich muss untersuchen ob Grenzwerte existieren und in fall der Konvergenz den Grenzwert bestimmen

Bei a ) weiß ich nicht wie ich mit den Logarithmus umgehen soll.

Und bei b) muss ich doch mithilfe von L'Hospital, ableiten. Bei b) komme ich auf bestimmte Divergenz.

Answer 1

zu b)  Du kennst ja sicher \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x} =  e^{a}\)

Dann kannst du deinen Term umformen:

\( \left(\frac{x+4}{x}\right)^{3 x+1} =\left(1+\frac{4}{x}\right)^{3 x+1}=\left(1+\frac{4}{x}\right)^{3 x} \cdot \left(1+\frac{4}{x}\right)^{1}  \)

\(   =(\left(1+\frac{4}{x}\right)^{x}  )^3 \cdot \left(1+\frac{4}{x}\right)^{1}  \)

Und für x gegen unendlich gibt das also \(   (e^4)^3 \cdot 1 = e^{12}\)

Bei a) mit L'Hospital, da Grenzwerttyp  \(  \frac{\infty}{\infty} \) und dann so:

\( \frac{\ln (3+2 x)}{\ln \left(1+3 x^{2}\right)} \rightarrow \frac{\frac{2}{3+2x}}{\frac{6x}{1+3x^2}} =  \frac{(1+3x^2)\cdot 2}{(3+2x) \cdot 6x} =\frac{2+6x^2 }{18x+12x^2} \) 

mit Grenzwert \( \frac{6}{12}= \frac{1}{2}\)

Answer 2

a) Grenzwert ist 1/2

b) Grenzwert ist e¹².

Comments

Wie kommst du auf die Ergebnisse? Hast du Rechenwege ?

Danke

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Im Netz gibt es viele Rechner, die diese Ergebnisse nennen. Für ihren Nachweis kann es nützlich sein, sie bereits zu kennen.