Finden Sie 4 Punkte in \mathbb{P}^{2}(\mathbb{F}_{4}) , sodass keine 3 davon auf einer Geraden liegen.

Question

Finden Sie 4 Punkte in \( \mathbb{P}^{2}\left(\mathbb{F}_{4}\right) \), sodass keine 3 davon auf einer Geraden liegen. Erstellen Sie zunächst eine Verknüpfungstabelle für \( \mathbb{F}_{4}=\mathbb{F}_{2}[x] /\left(x^{2}+x+1\right) \), wobei \( \mathbb{F}_{4} \) aus den 4 Elementen \( \overline{0}, \overline{1}, \bar{x}, \overline{x+1} \) besteht. Insbesondere hat \( \mathbb{F}_{4} \) Charakteristik 2 , das heißt \( \overline{1}+\overline{1}=\overline{2}=\overline{0} \) und zusätzlich gilt \( \overline{x^{2}+x+1}=\overline{0} \), oder äquivalent \( \overline{x^{2}}=\overline{-x-1}=\overline{x+1}( \) da \( \overline{-1}=\overline{1}) \).

Comments

Hast du kein Interesse an meiner Antwort?
Warum stellst du dann deine Frage hier ein?

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immer noch keine Reaktion ?

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Warum stellst du dann deine Frage hier ein?

das frage ich mich auch!

@kuschelwuschel: Du stellst hier Fragen mit Uni-Niveau - so wie diese - und anschließend dann so Pippi-Fragen mit einer linearen Funktion. Wenn Du letztere nicht selbst beantworten kannst, wie kommst Du dann zu der aktuellen Frage hier (s.o.)

Darf man mal fragen, was Dein Background ist? Studierst Du Mathe auf Lehramt?

Answer 1

Um den Schreibaufwand zu verringern, schreibe ich die Elemente

von \(K:=\mathbb{F}_4\) ohne die Querstriche, also

"repräsentiert durch ihre Repräsentanten".

Mit \([u:v:w]\) bezeichne ich einen Punkt \(\in P=P^2(K)\)

mit den homogenen Koordinaten \((u,v,w)\), wobei

nicht alle Komponenten \(=0\) sind.

Eine Gerade in \(g\subset P\) ist gegeben durch jedes Tripel

\((a,b,c)\) mit \(a,b,c\in K\), wobei nicht alle Komponenten \(=0\)

sind, vermöge \(g=\{[u:v:w]\in P \; : \; au+bv+cw=0\}\).

Nun zeige, dass die 4 Punkte

\([1:0:0], \; [0:1:0], \; [0:0:1], \; [1:x:x^2]\)

allen Anforderungen genügen.