Zeigen Sie, dass ein Punkt a ∈ A existiert mit

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bonusaufgabe 5 (4 Bonuspunkte)
Sei \( \emptyset \neq A \subset \mathbb{R}^{n} \) abgeschlossen und \( x \in \mathbb{R}^{n} \). Zeigen Sie, dass ein Punkt \( a \in A \) existiert mit
\( \|x-a\|=\inf \left\{\|x-b\|: b \in A_{1}\right\} . \)

Comments

Was bedeutet der Index bei dem letzten A? Druckfehler?

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Ich hatte vor kurzen eine ähnliche Frage gestellt - Die Fragestellung ist zwar nicht die selbe, aber ähnlich und vielleicht hilfts zum Lösen ☺.

https://www.mathelounge.de/1022963/zeigen-sie-es-existiert-ein-a-a-mit-a-x0-2-inf-x-x0-2

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Ja das ist ein druckfehler, da sollte keine 1 stehen

Answer 1

Hallo,

ich gehe davon aus, dass bekannt ist, dass die Norm eine stetige Funktion ist. Also ist insbesondere

$$f:\R^n \to \R, \quad f(s):=\|x-s\|$$

stetig. Die Behauptung ist, dass f auf A ein Minimum annimmt. Da A nur als abgeschlossen vorausgesetzt ist, wählen wir ein \(c \in A\) und setzen

$$B:=\{s \in A \mid f(s) \leq f(c)\}$$

Dann gilt:

$$\inf\{f(s)\mid s \in A\}=\inf\{f(s)\mid s \in B\}$$

Nun ist B abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Daher nimmt f auf B ein Minimum an, das auch Infimum über A ist.

Gruß Mathhilf