Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:
1e−ix \frac{1}{e^{-ix}} e−ix1 - 1eix \frac{1}{e^{ix}} eix1 = -2i
Antwortmöglichkeiten:
L={π/4+πk|k∈Z}L={πk|k∈Z}L={2πk|k∈Z}L={π/2+2πk|k∈Z}L={3π/2+2πk|k∈Z}
Lösungsweg
1e−ix−1eix=−2i∣∗eix\frac{1}{e^{-ix}}-\frac{1}{e^{ix}}=-2i |*e^{ix}e−ix1−eix1=−2i∣∗eix
e2ix−1=−2i∗eixe^{2ix}-1=-2i*e^{ix}e2ix−1=−2i∗eix
e2ix+2i∗eix=1e^{2ix}+2i*e^{ix}=1e2ix+2i∗eix=1
(eix+i)2=1+i2=0(e^{ix}+i)^2=1+i^2=0(eix+i)2=1+i2=0
eix=−ie^{ix}=-ieix=−i
ix=ln(−i)ix=ln(-i)ix=ln(−i)
Mit Wolfram:
x=ln(−i)i=32πx=\frac{ln(-i)}{i}=\frac{3}{2}πx=iln(−i)=23π
Nutze sin(x)=eix−e−ix2i\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}sin(x)=2ieix−e−ix
Wo kommen solche Gleichungen in der praktischen Anwendung vor?
Es handelt sich hier um eine Formel von Euler.
Solche Formeln werden bei Berechnungen
von Wechselstromnetzen verwendet, die man ja
am besten im komplexen durchführen kann.
Danke dir.
Das habe ich vermutet, weil ich weiß, dass beim Strom mit j oder i gearbeitet wird.
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