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Aufgabe:

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Text erkannt:

Geben Sie zwei zueinander nicht ähnliche Matrizen A,BMat(7,7;R) A, B \in \operatorname{Mat}(7,7 ; \mathbb{R}) an mit charakteristischem Polynom PA(x)=PB(x)=(x2)4(x4)3 P_{A}(x)=P_{B}(x)=-(x-2)^{4}(x-4)^{3} sowie
dimREig(A,2)=dimREig(B,2)=2 und dimREig(A,4)=dimREig(B,4)=1 \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \operatorname{Eig}(A, 2)=\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \operatorname{Eig}(B, 2)=2 \quad \text { und } \quad \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \operatorname{Eig}(A, 4)=\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \operatorname{Eig}(B, 4)=1



Problem/Ansatz:

Ich hab probiert über die Jordannormalformen zu gehen aber bin mir unsicher ob das so geht.

Es gibt ja 2 Stück.

Einmal gibt es 2 Zweierblöcke zu dem Eigenwert 1 und einen Dreierblock zu dem Eigenwert 4

(2100000020000000210000002000000041000000410000004)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}

oder es gibt einen Block der Größe 1 und einen Dreierblock für den Eigenwert 2 und dann wieder für den Eigenwert 4 den Dreierblock.

(2100000021000000200000002000000041000000410000004)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}

Wären das die beiden Matrizen?

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Beste Antwort

Deine Vorgehensweise ist absolut richtig und dein Ergebnis ist auch korrekt.

Die beiden Matrizen erfüllen die gegebenen Bedingungen und sind nicht ähnlich.

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