Wären das die beiden Matrizen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Geben Sie zwei zueinander nicht ähnliche Matrizen $A, B \in \operatorname{Mat}(7,7 ; \mathbb{R})$ an mit charakteristischem Polynom $P_{A}(x)=P_{B}(x)=-(x-2)^{4}(x-4)^{3}$ sowie
$\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \operatorname{Eig}(A, 2)=\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \operatorname{Eig}(B, 2)=2 \quad \text { und } \quad \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \operatorname{Eig}(A, 4)=\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \operatorname{Eig}(B, 4)=1$

Problem/Ansatz:

Ich hab probiert über die Jordannormalformen zu gehen aber bin mir unsicher ob das so geht.

Es gibt ja 2 Stück.

Einmal gibt es 2 Zweierblöcke zu dem Eigenwert 1 und einen Dreierblock zu dem Eigenwert 4

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}$$

oder es gibt einen Block der Größe 1 und einen Dreierblock für den Eigenwert 2 und dann wieder für den Eigenwert 4 den Dreierblock.

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}$$

Wären das die beiden Matrizen?

Answer 1

Deine Vorgehensweise ist absolut richtig und dein Ergebnis ist auch korrekt.

Die beiden Matrizen erfüllen die gegebenen Bedingungen und sind nicht ähnlich.