Wenn P die Ebene mit der Gleichung 3x + 3y - 2z = 3 in ℝ³ ist, was ist die Gleichung der Ebene L(P)?

Question

Aufgabe:

Lass L: ℝ³ → ℝ³ die Rotation um 30 Grad gegen den Uhrzeigersinn um die z-Achse sein.

Alle vorherigen Aufgaben wie Matrixdarstellung habe ich schon gemacht.

Wenn P die Ebene mit der Gleichung $3x + 3y - 2z = 3$ in ℝ³ ist, was ist die Gleichung der Ebene L(P)?

Problem/Ansatz:

Der Richtungsvektor der Ebene ist (3,3,-2). Diesen rotiere ich jetzt um 30 Grad:

$L(3,3,-2) = 3 \cdot L(1,0,0) + 3 \cdot L(0,1,0) - 2 \cdot (0,0,1)$

$= 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) + 3\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) - 2(0,0,1)$

$= \left(3\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}, 3\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}, -2\right)$

welches der neue Richtungsvektor unserer Ebene ist:

$L(P) = \left(3\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\right)x + \left(3\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right)y - 2z = 3$

$= \left(3\left(\sqrt{3} - 1\right)\right)x + \left(3\left(\sqrt{3} + 1\right)\right)y - 4z = 6$

Dies müsste also die Gleichung unser rotierten Ebene sein. Nun stelle ich mir aber die Frage, ob ich anstelle von d = 6 (wegen Form ax + by + cz = d) nicht noch einen neuen Punkt der Ebene finden muss?

Comments

Der Richtungsvektor der Ebene ist (3,3,-2).

Nein. Das ist ein Normalenvektor der Ebene.

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Oh, aber die Rotation kann man trotzdem auf den Normalvektor anwenden?

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Natürlich kannst du den Normalenvektor rotieren lassen. Zusätzlich musst du noch einem Punkt der gegebenen Ebene rotieren lassen.

Answer 1

Aloha :)

Die ursprüngliche Ebene$$E\colon3x+3y-2z=3$$schneidet die z-Achse im Punkt $A(0|0|-\frac32)$. Dieser Punkt bleibt bei einder Drehung der Ebene um die z-Achse erhalten, kann also als Ankerpunkt der gedrehten Ebene $E'$ verwendet werden.

Den normalen Vektor $\vec n$ der Ebene $E$ zerlegen wir in einen Anteil parallel und einen Anteil senkrecht zur z-Achse:$$\vec n=\begin{pmatrix}3\\3\\-2\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}}_{=\vec n_\parallel}+\underbrace{\begin{pmatrix}\red3\\\green3\\0\end{pmatrix}}_{=\vec n_\perp}$$

Der parallele Anteil $\vec n_\parallel$ bleibt bei einer Rotation um die z-Achse ungeändert. Der senkrechte Anteil wird nun um $30^\circ$ um die z-Achse gedreht:$$\vec n_\perp'=\begin{pmatrix}\red3\cos30^\circ-\green3\sin30^\circ\\\red3\sin30^\circ+\green3\cos30^\circ\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red3\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\green3\cdot\frac12\\[1ex]\red3\cdot\frac12+\green3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\[1ex]0\end{pmatrix}=\frac32\begin{pmatrix}\sqrt3-1\\\sqrt3+1\\0\end{pmatrix}$$

Der Normalenvektor der gedrehten Ebene lautet daher:$$\vec n'=\vec n_\parallel+\vec n_\perp'=\frac32\begin{pmatrix}\sqrt3-1\\\sqrt3+1\\-\frac43\end{pmatrix}$$

Zusammen mit dem Ankerpunkt $A(0|0|-\frac23)$ erhalten wir die Ebenengleichung der gedrehten Ebene:$$\vec n'\cdot\vec x=\vec n'\cdot\vec a\implies\frac32\begin{pmatrix}\sqrt3-1\\\sqrt3+1\\-\frac43\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\frac32\begin{pmatrix}\sqrt3-1\\\sqrt3+1\\-\frac43\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac32\end{pmatrix}\implies$$$$\pink{E'\colon(\sqrt3-1)x+(\sqrt3+1)y-\frac43z=2}$$

Das entspricht deiner Lösung.

Answer 2

Nun stelle ich mir aber die Frage ob ich anstelle von d = 6 (wegen Form ax + by + cz = d) nicht noch einen neuen Punkt der Ebene finden muss?

Du hast zwei Möglichkeiten:

Du drehst einen Punkt der ursprünglichen Ebene mit und bekommst aus den Bildkoordinaten das d für die gedrehte Ebene.

oder

Du bestimmst vor der Drehung den Punkt der gegebenen Ebene, der sich auf der z-Achse befindet und sich bei Drehung um die z-Achse nicht ändert.

Comments

Also die erste Variante ist so wie ich es gemacht habe? Direkt den Punkt mitgedreht?

Für die 2. Variante wähle ich dann $(0,0,-\frac{3}{2}$) als Punkt aus und setze ihn in  $L(P) = \left(3\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\right)x + \left(3\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right)y - 2z = d$ ein um mein d zu finden also $d = 0 + 0 - 2*(-\frac{3}{2})$ = 3.

$L(P) = \left(3\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\right)x + \left(3\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right)y - 2z = 3$

$=\left(3\left(\sqrt{3} - 1\right)\right)x + \left(3\left(\sqrt{3} + 1\right)\right)y - 4z = 6$

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Hier siehst du die Gleichung der Ebene und (mit rationalen Näherungswerten) die Gleichung der gedrehten Ebene.

Answer 3

Überlege dir, was das d in der Ebenengleichung

E: ax + by + cz = d

bedeutet, wenn [a, b, c] der Normalenvektor oder sogar der (auf die Länge 1) normierte Normalenvektor ist.

Und dann überlege ob sich das d beim Drehen um eine Koordinatenachse ändert. Wenn ja warum, wenn nein warum nicht.

Comments

d ist der Abstand zum Ursprung, d.h. d wird sich ändern, wenn die Drehung dazu führt, dass sich der Abstand der Ebene zum Ursprung ändert. Wenn wir um eine der Ursprungsachsen drehen, sollte sich der Abstand nicht verändern, aber wenn wir um eine Achse drehen die nicht durch den Ursprung verläuft bzw nicht parallel zur Ebene ist, kann sich der Abstand verändern. Korrekt?

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d ist der Abstand zum Ursprung,

Nein, dass ist d nicht (nur in Ausnahmefällen).

Die Ebene x+y+z=1 hat vom Ursprung nicht den Abstand 1.

Du hast allerdings recht, wenn du den Zusatz

der (auf die Länge 1) normierte Normalenvektor

verwendest.

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Wenn der Normalvektor nicht die Länge 1 hat, dann ist d proportional zum Abstand oder?

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d geteilt durch die Länge des Normalenvektors ist der gerichtete Abstand zum Ursprung.

Dreht man eine Ebene um eine Koordinatenachse ändert sich dieser Abstand natürlich nicht. Das hast du also völlig richtig erkannt.

Also braucht man hier nur den Normalenvektor zu drehen.

Da sich die Länge des Normalenvektors bei Drehen nicht verändert, sollte sich das d auch nicht verändern.

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Vielen Dank!