Aufgabe:
Seien X X X und Y Y Y unabhängig und gleichverteilt auf [0,1] [0,1] [0,1]. Berechne die Dichte von X+Y X+Y X+Y.
Lösung: Für x∈[0,1] x \in[0,1] x∈[0,1] giltfX+Y(x)=∫−∞+∞fX(x−y)fY(y)dy=∫01fX(x−y)dy=∫0x dy=y∣0x=x. \begin{aligned} f_{X+Y}(x) & =\int \limits_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x-y) f_{Y}(y) \mathrm{d} y \\ & =\int \limits_{0}^{1} f_{X}(x-y) \mathrm{d} y=\int \limits_{0}^{x} \mathrm{~d} y=\left.y\right|_{0} ^{x}=x . \end{aligned} fX+Y(x)=−∞∫+∞fX(x−y)fY(y)dy=0∫1fX(x−y)dy=0∫x dy=y∣0x=x.Für x∈[1,2] x \in[1,2] x∈[1,2] giltfX+Y(x)=∫01fX(x−y)dy=∫x−11 dy=y∣x−11=2−x. f_{X+Y}(x)=\int \limits_{0}^{1} f_{X}(x-y) \mathrm{d} y=\int \limits_{x-1}^{1} \mathrm{~d} y=\left.y\right|_{x-1} ^{1}=2-x . fX+Y(x)=0∫1fX(x−y)dy=x−1∫1 dy=y∣x−11=2−x.Schlussendlich gilt fX+Y(x)=0 f_{X+Y}(x)=0 fX+Y(x)=0 für x∉[0,2] x \notin[0,2] x∈/[0,2].
Problem/Ansatz:
Das ist ein Lösungsweg und ich versteh nicht, wie sich die Integralsgrenzen ergeben? Also [0,1] ist klar, aber wie entsteht der Schritt, dass auf einmal x in den Grenzen auftaucht?
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
hier stand was falsches
Hallo,
mach dir klar, dass für x∈[0,2]x\in[0,2]x∈[0,2] gilt
fX(x−y)=1[0,1](x−y)=1[0,x](y)⋅1[x−1,1](y)f_X(x-y) = 1_{[0,1]}(x-y) = 1_{[0,x]}(y) \cdot 1_{[x-1,1]}(y) fX(x−y)=1[0,1](x−y)=1[0,x](y)⋅1[x−1,1](y).
Dann sieht man sofort, dass im Fall x∈[0,1]x\in[0,1]x∈[0,1] gilt fX(x−y)=1[0,x](y)f_X(x-y) = 1_{[0,x]}(y)fX(x−y)=1[0,x](y)
und falls x∈[1,2]x\in[1,2]x∈[1,2] ist fX(x−y)=1[x−1,1](y)f_X(x-y) = 1_{[x-1,1]}(y)fX(x−y)=1[x−1,1](y).
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