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Aufgabe:

Seien X X und Y Y unabhängig und gleichverteilt auf [0,1] [0,1] . Berechne die Dichte von X+Y X+Y .

Lösung: Für x[0,1] x \in[0,1] gilt
fX+Y(x)=+fX(xy)fY(y)dy=01fX(xy)dy=0x dy=y0x=x. \begin{aligned} f_{X+Y}(x) & =\int \limits_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x-y) f_{Y}(y) \mathrm{d} y \\ & =\int \limits_{0}^{1} f_{X}(x-y) \mathrm{d} y=\int \limits_{0}^{x} \mathrm{~d} y=\left.y\right|_{0} ^{x}=x . \end{aligned}
Für x[1,2] x \in[1,2] gilt
fX+Y(x)=01fX(xy)dy=x11 dy=yx11=2x. f_{X+Y}(x)=\int \limits_{0}^{1} f_{X}(x-y) \mathrm{d} y=\int \limits_{x-1}^{1} \mathrm{~d} y=\left.y\right|_{x-1} ^{1}=2-x .
Schlussendlich gilt fX+Y(x)=0 f_{X+Y}(x)=0 für x[0,2] x \notin[0,2] .

Problem/Ansatz:

Das ist ein Lösungsweg und ich versteh nicht, wie sich die Integralsgrenzen ergeben? Also [0,1] ist klar, aber wie entsteht der Schritt, dass auf einmal x in den Grenzen auftaucht?


Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!

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hier stand was falsches

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

mach dir klar, dass für x[0,2]x\in[0,2] gilt

fX(xy)=1[0,1](xy)=1[0,x](y)1[x1,1](y)f_X(x-y) = 1_{[0,1]}(x-y) = 1_{[0,x]}(y) \cdot 1_{[x-1,1]}(y) .

Dann sieht man sofort, dass im Fall x[0,1]x\in[0,1] gilt fX(xy)=1[0,x](y)f_X(x-y) = 1_{[0,x]}(y)

und falls x[1,2]x\in[1,2] ist fX(xy)=1[x1,1](y)f_X(x-y) = 1_{[x-1,1]}(y).

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