Berechnen Sie für die folgende Logarithmusfunktion jeweils die Ableitung:

Question

Aufgabe: Berechnen Sie für die folgende Logarithmusfunktion jeweils die Ableitung:

f: (0,∞)→ℝ   f(x)= a/ x^2*(ln(x))^3

Comments

Was steht alles im Nenner?

Die Ableitung von (lnx)^3  ist: 3*(lnx)^2*1/x = (3*lnx)^2)/ x

(ln x)^2 = ln^2(x)

Answer 1

Aloha :)

$$f'(x)=\left(\frac{a}{x^2\cdot\ln^3(x)}\right)'=a\cdot\left(\underbrace{x^{-2}}_{=u}\cdot\underbrace{\ln^{-3}(x)}_{=v}\right)'$$$$\phantom{f'(x)}=a\left(\underbrace{(-2x^{-3})}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln^{-3}(x)}_{=v}+\cdot\underbrace{x^{-2}}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{(-3\ln^{-4}(x))}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\frac1x}^{\text{innere Abl}}}_{=v'}\right)$$$$\phantom{f'(x)}=a\left(\frac{-2}{x^3\ln^3(x)}+\frac{-3}{x^3\ln^4(x)}\right)=-a\cdot\frac{2\ln(x)+3}{x^3\ln^4(x)}$$

Comments

Hi wie funktioniert der letzte Schritt. Also der Teil mit der Addition von Brüchen. Bei mir kommt was falsches dabei raus .

Danke

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Der erste Bruch wird mit \(\ln(x)\) erweitert, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben:$$\frac{-2\cdot\pink{\ln(x)}}{x^3\cdot\ln^3(x)\cdot\pink{\ln(x)}}+\frac{-3}{x^3\cdot\ln^4(x)}=\frac{-2\ln(x)}{x^3\cdot\ln^4(x)}+\frac{-3}{x^3\cdot\ln^4(x)}$$

Dann werden die beiden Zähler addiert:$$\frac{-2\ln(x)}{x^3\cdot\ln^4(x)}+\frac{-3}{x^3\cdot\ln^4(x)}=\frac{-2\ln(x)-3}{x^3\cdot\ln^4(x)}=-\frac{2\ln(x)+3}{x^3\cdot\ln^4(x)}$$

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Und du verlierst keine Silbe darüber, dass, wenn deine Interpretation stimmen sollte, der Funktionsterm fehlerhaft aufgeschrieben wurde???

Außerdem lässt mich die Einführung in die Aufgabe

f: (0,∞)→ℝ

an deiner Interpretation zweifeln. DEIN Funktionsterm ist für x=1 (was ja vielleicht doch irgendwie im Intervall (0,∞) liegt) nicht einmal definiert.

Answer 2

Wenn ihr die Quotientenregel kennengelernt habt:

Setze u=\(a\cdot (ln x)^3\) , v= x² und wende darauf die Quotientenregel an.

Falls ihr sie nicht kenengelernt habt:

Wende die Produktregel an mit  u=\(a\cdot (ln x)^3\) , \(v= x^{-2}\).

In beiden Fällen musst du währenddessen (ln x)³ ableiten, das funktioniert mit Kettenregel.