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Aufgabe: Berechnen Sie für die folgende Logarithmusfunktion jeweils die Ableitung:

f: (0,∞)→ℝ   f(x)= a/ x2*(ln(x))3

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Was steht alles im Nenner?

Die Ableitung von (lnx)3  ist: 3*(lnx)2*1/x = (3*lnx)2)/ x

(ln x)2 = ln2(x)

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Aloha :)

f(x)=(ax2ln3(x))=a(x2=uln3(x)=v)f'(x)=\left(\frac{a}{x^2\cdot\ln^3(x)}\right)'=a\cdot\left(\underbrace{x^{-2}}_{=u}\cdot\underbrace{\ln^{-3}(x)}_{=v}\right)'f(x)=a((2x3)=uln3(x)=v+x2=u(3ln4(x))a¨ußere Abl.1xinnere Abl=v)\phantom{f'(x)}=a\left(\underbrace{(-2x^{-3})}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln^{-3}(x)}_{=v}+\cdot\underbrace{x^{-2}}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{(-3\ln^{-4}(x))}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\frac1x}^{\text{innere Abl}}}_{=v'}\right)f(x)=a(2x3ln3(x)+3x3ln4(x))=a2ln(x)+3x3ln4(x)\phantom{f'(x)}=a\left(\frac{-2}{x^3\ln^3(x)}+\frac{-3}{x^3\ln^4(x)}\right)=-a\cdot\frac{2\ln(x)+3}{x^3\ln^4(x)}

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Hi wie funktioniert der letzte Schritt. Also der Teil mit der Addition von Brüchen. Bei mir kommt was falsches dabei raus .

Danke

Der erste Bruch wird mit ln(x)\ln(x) erweitert, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben:2ln(x)x3ln3(x)ln(x)+3x3ln4(x)=2ln(x)x3ln4(x)+3x3ln4(x)\frac{-2\cdot\pink{\ln(x)}}{x^3\cdot\ln^3(x)\cdot\pink{\ln(x)}}+\frac{-3}{x^3\cdot\ln^4(x)}=\frac{-2\ln(x)}{x^3\cdot\ln^4(x)}+\frac{-3}{x^3\cdot\ln^4(x)}

Dann werden die beiden Zähler addiert:2ln(x)x3ln4(x)+3x3ln4(x)=2ln(x)3x3ln4(x)=2ln(x)+3x3ln4(x)\frac{-2\ln(x)}{x^3\cdot\ln^4(x)}+\frac{-3}{x^3\cdot\ln^4(x)}=\frac{-2\ln(x)-3}{x^3\cdot\ln^4(x)}=-\frac{2\ln(x)+3}{x^3\cdot\ln^4(x)}

Und du verlierst keine Silbe darüber, dass, wenn deine Interpretation stimmen sollte, der Funktionsterm fehlerhaft aufgeschrieben wurde???


Außerdem lässt mich die Einführung in die Aufgabe

f: (0,∞)→ℝ

an deiner Interpretation zweifeln. DEIN Funktionsterm ist für x=1 (was ja vielleicht doch irgendwie im Intervall (0,∞) liegt) nicht einmal definiert.

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Wenn ihr die Quotientenregel kennengelernt habt:

Setze u=a(lnx)3a\cdot (ln x)^3 , v= x² und wende darauf die Quotientenregel an.

Falls ihr sie nicht kenengelernt habt:

Wende die Produktregel an mit  u=a(lnx)3a\cdot (ln x)^3 , v=x2v= x^{-2}.


In beiden Fällen musst du währenddessen (ln x)³ ableiten, das funktioniert mit Kettenregel.

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