Algebra // Körpererweiterung

Question

Zeigen Sie, dass es genügt zu zeigen, dass für n paarweise verschiedene Primzahlen p₁, . . . , p_n gilt, dass

[Q(√p₁, . . . , √p_n) : Q(√p₁, . . . , √p_n−1)] = 2.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Wäre lieb <3

Comments

Zeigen Sie, dass es genügt zu zeigen

Zu was soll das genügen?

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Entschuldige davor stand folgende Einleitung:

"In dieser Aufgabe sollen Sie sich überlegen, dass die Wurzeln √2, √3, √5, √7, . . . aus den Primzahlen über Q linear unabhängig sind."

Und was ich gepostet habe ist eine Teilaufgabe.

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Hat jemand eine Ahnung?

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Du musst folgendes zeigen:

Wenn für jedes $n\in \mathbb{N}$ und $n$ beliebige, paarweise verschiedene Primzahlen $p_1,\dots,p_n$ gilt, dass

        $[\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_n})\ :\ \mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_{n-1}})] = 2$

ist, dann ist die Menge $\sqrt{\mathbb{P}} \coloneqq \{\sqrt{p}|\ p\text{ ist Primzahl}\}$ im $\mathbb{Q}$-Vektorraum $\langle\mathbb{Q}\cup\sqrt{\mathbb{P}}\rangle$ linear unabhängig.

Ich würde da erst ein mal versuchen, einen direkten Beweis zu liefern. Das heißt:

Angenommen für jedes $n\in \mathbb{N}$ und $n$ beliebige, paarweise verschiedene Primzahlen $p_1,\dots,p_n$ gilt, dass

        $[\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_n})\ :\ \mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_{n-1}})] = 2$

ist. Begründe, dass dann die Menge $\sqrt{\mathbb{P}}$ im $\mathbb{Q}$-Vektorraum $\langle\mathbb{Q}\cup \sqrt{\mathbb{P}}\rangle$ linear unabhängig ist.

Erst im nächsten Schritt werdet ihr dann vermutlich beweisen müssen, dass für jedes $n\in \mathbb{N}$ und $n$ beliebige, paarweise verschiedene Primzahlen $p_1,\dots,p_n$ gilt, dass

        $[\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_n})\ :\ \mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_{n-1}})] = 2$

ist.