Aufgabe: Sei d ≥ 0 eine rationale Zahl. Zeigen Sie, dass Q[\( \sqrt{d} \) ] = {a+b*\( \sqrt{d} \) a,b ∈ Q }⊆ R
mit der Addition und Multiplikation der reellen Zahlen ein Körper ist. Benutzen Sie geschickt, dass wir schon wissen, dass (K1) bis (K9) in R gelten.
Problem/Ansatz:
Guten Tag, ich habe bereits eine Lösung für diese Aufgabe, bin mir aber nicht ganz sicher, ob das so korrekt ist.
So wie ich die Aufgabe verstanden habe, muss ich zeigen, dass bei der Addition und Multiplikation in in Q, wieder eine Zahl Q rauskommt.
Ich hänge meine Bearbeitung als Bild an, da ich glaube, dass es so am einfachsten zu nachvollziehen ist, was ich gemacht habe.
Danke! 
Text erkannt:
3) \( \Rightarrow \) Beweisen, dass bei der Addition und Multiplikation von rationalen Zahlen, wieder eine rationale Zahl ergibt.
\( \begin{array}{l} \Rightarrow d \geq 0 \varepsilon \mathbb{Q} ; \mathbb{Q}[\sqrt{d}] \leq \mathbb{R} \\ \mathbb{Q}[\sqrt{d}]=(a+b \sqrt{d}) \\ \text { 1. }(a+b-\sqrt{d})+\left(a^{\prime}+b^{\prime}-\sqrt{d}\right) \\ \Leftrightarrow\left(a+a^{\prime}\right)+b \sqrt{d}+b^{\prime} \sqrt{d} \\ \Leftrightarrow\left(a+a^{\prime}\right)+\left(b+b^{\prime}\right) \sqrt{d} \varepsilon \mathbb{Q}[\sqrt{d}] \end{array} \)
\( \text { 2. } \begin{array}{l} (a+b \sqrt{d}) \cdot\left(a^{\prime}+b^{\prime}-\sqrt{d}\right) \\ \Leftrightarrow\left(a a^{\prime} b^{\prime}-\sqrt{d}\right)+\left(b \sqrt{d} a^{\prime} b^{\prime} \sqrt{d}\right) \\ \Leftrightarrow\left(a a^{\prime} b^{\prime} \sqrt{d}\right)+\left(b b^{\prime} a^{\prime} d\right) \\ \Leftrightarrow\left(a a^{\prime} b^{\prime}\right) \sqrt{d}+\left(b b^{\prime} a^{\prime} d\right) \quad \varepsilon \mathbb{Q}[\sqrt{d}] \end{array} \)
Mit 1 und 2 ist bewiesen, dass \( \mathbb{Q}[\sqrt{d}] \) ein Körper ist, da beide Rechnungen mit Elementen von \( \mathbb{Q} \) ein Ergebonis \( \& \mathbb{Q} \) Liefern.
