Zunächst würde ich die Koordinaten der Punkte \( P_{i} \) auf der Linie \( A B \) betrachten. Diese Punkte haben ja die Form \( (i, p-i) \) für \( i=1, \ldots, p-1 \).
Um die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren der Dreiecke \( \triangle O P_{i} P_{i+1} \) zu bestimmen, betrachten man die Gleichung der Geraden \( O P_{i} \) und \( P_{i} P_{i+1} \).
Die Geradengleichung \( O P_{i} \) kann mit Hilfe der beiden Punkte \( O=(0,0) \) und \( P_{i}=(i, p-i) \) bestimmt werden:
Die Steigung \( m \) der Geraden \( O P_{i} \) ist gegeben durch:
\( m=\frac{p-i-0}{i-0}=\frac{p-i}{i} \)
Die \( y \)-Achsenabschnitt \( c \) ist 0 , da die Gerade durch den Ursprung verläuft.
Somit ergibt sich die Gleichung der Geraden \( O P_{i} \) als:
\( \begin{array}{l} y=m x \\ y=\frac{p-i}{i} \cdot x \end{array} \)
Die Geradengleichung \( P_{i} P_{i+1} \) ergibt sich ähnlich:
Die Steigung \( m^{\prime} \) der Geraden \( P_{i} P_{i+1} \) ist gegeben durch die Differenz der y-Koordinaten geteilt durch die Differenz der x-Koordinaten:
\( m^{\prime}=\frac{(p-i)-(p-(i+1))}{i-(i+1)}=\frac{p-i-p+i+1}{i-i-1}=-1 \)
Der \( y \)-Achsenabschnitt \( c^{\prime} \) ist \( p-(i+1)=p-i-1 \).
Somit ergibt sich die Gleichung der Geraden \( P_{i} P_{i+1} \) als:
\( y=-x+(p-i-1) \)
Um nun die Anzahl der Gitterpunkte zu bestimmen, betrachten wir die Koordinaten von \( P_{i} \) und \( P_{i+1} \) sowie die Gleichungen der Geraden \( O P_{i} \) und \( P_{i} P_{i+1} \).
Die Koordinaten von \( P_{i} \) sind \( (i, p-i) \) und die von \( P_{i+1} \) sind \( (i+1, p-(i+1))=(i+ \) \( 1, p-i-1) \).
Die Gleichung der Geraden \( O P_{i} \) ist \( y=\frac{p-i}{i} \cdot x \) und die der Geraden \( P_{i} P_{i+1} \) ist \( y=-x+ \) \( (p-i-1) \).
Da die beiden Geraden sind parallel zueinander und die Steigung der Geraden \( O P_{i} \) ist gleich des negativen Kehrwerts der Steigung der Geraden \( P_{i} P_{i+1} \). Somit hat dann jedes vertikale Segment, das parallel zur \( x \)-Achse verläuft und zwischen den beiden Geraden liegt, die gleiche Anzahl von Gitterpunkten.
Daher hat das Dreieck \( \triangle O P_{i} P_{i+1} \) die gleiche Anzahl von Gitterpunkten wie das Dreieck \( \triangle O P_{1} P_{2} \), welches \( \frac{p-1}{2} \) Gitterpunkte enthält.
