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Problem/Ansatz:

IMG_4283.jpeg

Text erkannt:

Sei xR x \in \mathbb{R} fest gewählt.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe der Binominalentwicklung von (1+xn)n \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} , dass
(1+xn)nk=0nxkk!=k=0n[(11n)(1k1n)1]xkk!. \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}-\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left[\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)-1\right] \frac{x^{k}}{k !} .
(b) Sei ε>0 \varepsilon>0 . Da xkk! \sum \frac{x^{k}}{k !} absolut konvergiert, gibt es ein NNmitk=N+1xkk!<ε2 N \in \mathbb{N} \operatorname{mit} \sum \limits_{k=N+1}^{\infty} \frac{|x|^{k}}{k !}<\frac{\varepsilon}{2} . Zeigen Sie, dass für n n \rightarrow \infty
k=0N[(11n)(1k1n)1]xkk!0 \sum \limits_{k=0}^{N}\left[\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)-1\right] \frac{x^{k}}{k !} \rightarrow 0
und folgern Sie, dass es ein n0N n_{0} \in \mathbb{N} gibt, so dass für nn0 n \geq n_{0} gilt
(1+xn)nk=0nxkk!<ε \left|\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}-\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !}\right|<\varepsilon

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Kannst du bitte sinnvollere Titel formulieren?

Wende den binomischen Satz auf (1+x/n)n an, benutze die Definition der Binomialkoeffizienten, klammer aus jedem Summanden jeweils xk/(k!) aus ....

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Demet. Wir machen zunächst einfach, was in der Aufgabe steht:
Formelsammlung, „binomische Formel“:

blob.png

Formelsammlung, „Binomialkoeffizienten“:
blob.png

Und jetzt? Wenn man sich die Rechnung mit z. B. n = 3 klar macht, kommt man auf Folgendes:
Zu zeigen ist:


blob.png

Da Term (I) = Term (II), ist die Gleichung bewiesen. Der Beweis muss nur noch schöner aufgeschrieben werden.


Avatar von 4,2 k

Noch eine Anmerkung: Der Startwert der zweiten Summe in


blob.png


ist nicht 0, sondern 2.

Hallo Demet. Vielen Dank für "Beste Antwort".  

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