Thema: Volumen verschiedener Körper berechnen

Question

Ich schreibe am Dienstag eine Mathearbeit, in der ein Thema sein wird, das Volumen verschiedener Körper zu berechnen (z.B. Pyramide, Torus, Kegel etc.). Als Übung mache ich momentan folgende Aufgabe:

"Der Vesuv ist 1280m hoch. Der Krater läuft spitz nach unten zu, ist 200m tief und hat einen Durchmesser von 600m. Unten hat der Berg einen Umfang von 13km. Wie viel Erde enthält der Vesuv?"

Jetzt bin ich also folgendermaßen vorgegangen: Den Berg sowie den Krater kann man mit einem Kegel vergleichen, dessen Formel zur Berechnung des Volumens V=1/3*Grundfläche*Höhe lautet.

Kann mir jemand helfen, auf das richtige Ergebnis zu kommen? Irgendwie kommen bei mir immer so unrealistische Werte heraus... Danke schon einmal im Voraus für eure Hilfe!

Answer 1

Nun, es ist vermutlich zulässig, sich den den Vesuv als geraden Kreiskegel vorzustellen, dem in einer Höhe von 1280 m parallel zur Erdoberfläche die Spitze abgeschnitten wurde.
Somit ist er ein gerader Kreiskegelstumpf.

Das Volumen V eines solchen beträgt:

V = ( R ² + R * r + r ² ) *  ( h * π ) / 3

wobei R der größere und r der kleinere Radius, sowie h die Höhe des Kegelstumpfes ist.

Vorliegend ist:

r = 600 m
h = 1280 m

R muss aus dem angegebenem Umfang des Vesuvs am Boden berechnet werden.
Wegen

U = 2 * π * R

und U = 13 km = 13000 m laut Aufgabenstellung ergibt sich:

R = U / ( 2 π ) = 13000 / ( 2 π ) = 2069 m

Also beträgt das Gesamtvolumen des Vesuvs (inkl. Kratervolumen):

V_gesamt = ( 2069 ² + 2069 *600 + 600 ² ) *  ( 1280 * π ) / 3

≈ 7.884.524.281,5 m ³

also knapp 8 Milliarden Kubikmeter.

 

Davon muss nun allerdings noch das Volumen des Kraters abgezogen werden. Dieser ist ein gerader Kreiskegel. Das Volumen eines solchen beträgt:

V = ( 1 / 3 ) * G * h

mit
G = pi * r ² : Grundflächeninhalt (vorliegend: G = π * 600 ² ≈ 1.130.973,4 m ² )
h : Höhe (Vorliegend h = 200 m)

also:

V_Krater ≈ ( 1 / 3 ) * 1.130.973,4 * 200 = 75.398.226,7 m ³

 

Somit besteht der Vesuv aus

V_Vesuv ≈ V_gesamt - V_Krater

= 7.884.524.281,5 - 75.398.226,7

= 7.809.126.054,8 m ³

≈ 7,81 km ³

festem Material ("Erde").

Comments

Vielen Dank für die Hilfe an euch beide!!

An JotEs: Ist es denn auch möglich, den Vesuv als einen kompletten Kegel zu beschreiben oder könnte vielleicht darin mein Fehler gelegen haben?

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Und noch eine Frage: Du hast geschrieben:

"G = pi * r ² : Grundflächeninhalt (vorliegend: G = π * 600² ≈ 1.130.973,4 m² )
h : Höhe (Vorliegend h = 200 m)".

Müsste man hier nicht G=π*300² nehmen? 600m wären doch der Durchmesser und man benötigt aber den Radius, oder liege ich da falsch?

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Du hast recht, es muss natürlich der Radius genommen werden und der beträgt 300 m.

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In der Aufgabe stand Durchmesser 600m ist dann der Radius nicht 300m?

Answer 2

zeichnen wir zunächst eine Skizze

Über den Umfang kann der Radius des Vesuvs
berechnet werden und beträgt r = 2069 m
Die obere fehlende Spitze hat eine Höhe
von x = 217 m.
Die Gesamthöhe eines intakten Kegels würde
h = 1280 + 217 = 1497 m betragen.
Die Formel für das Volumen eines Kegels hast du schon
aufgeschrieben. V = 1/3 * G * h. Die Grundflächen sind
Kreisflächen. Nun kannst du ausrechnen ( das will ich dir
überlassen )
Vesuv : r = 2069 m , h = 1497 m
Vesuv ( oberer Teil ) : r = 300 m , x = 217 m
Krater : r = 300 m ; h = 200 m
 

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mfg Georg