Typische Analysisaufgabe auf Abiturniveau

Question

Pflichtaufgabe 1 - Analysis (Taschenrechnerfrei)

Gegeben ist die Funktion f mit \( f(x)=\frac{1}{6} x^{3}-2 x^{2}+\frac{28}{3}, x \in \mathbb{R} \).
(1) Weisen Sie nach, dass der Graph von \( f \) an der Stelle \( x=0 \) einen lokalen Hochpunkt hat.
(2) Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von \( f \) an der Stelle \( x=0 \) durch den Punkt \( P\left(\frac{4}{3} \left\lvert\, \frac{28}{3}\right.\right) \) verläuft.
(3) Der Punkt Q( 4|-12) liegt auf dem Graphen von \( f \).

Zeigen Sie: Die Gerade durch die Punkte \( P \) und \( Q \) ist die Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt Q.

Problem/Ansatz:

Teilaufgabe 1) war ganz einfach und habe ich relativ gut verstanden, jedoch Blicke ich bei 2) & 3) nicht ganz durch. Ich verstehe was gemeint ist, aber die Ansätze finde ich irgendwie nicht. Ich bitte um Hilfestellung und bedanke mich im Voraus!

Answer 1

2)

Bei (1) hast Du herausgefunden, dass bei \( \left(0 \left\lvert\, \frac{28}{3}\right.\right) \) ein Hochpunkt ist. Die Tangente dort hat die Gleichung \(y= \frac{28}{3} \) und verläuft auch durch \( \left(\frac{4}{3} \left\lvert\, \frac{28}{3}\right.\right) \).

3)

Setze x = 4 in f(x) ein und überprüfe, ob f(x) = -12.

Comments

Aber wie kann ich begründen dass er auch durch 4/3 geht

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Ich sehe gerade, bei 3) geht es noch weiter:

Die erste Ableitung von f bei x = x_Q muss gleich der Steigung \( \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P} \) sein.

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Aber wie kann ich begründen dass er auch durch 4/3 geht

Sie geht nicht durch 4/3. Sie geht durch den Punkt P mit der x-Koordinate 4/3.

Answer 2

2) t(x) = (x-0)*f '(0) +f(0)

Setze dann den Punkt ein.