Question

Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe der direkten Substitution,

\( \int_{0}^{1} \frac{exp(t)}{(1 + exp(t))^2} \, dt \)

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https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_0^1\frac{e^t}{(1+e^t)^2}\,dt=\,?$$Substituiere wie folgt:$$u\coloneqq1+e^t$$Dann gilt für das Differential$$\frac{du}{dt}=e^t\implies du=e^t\,dt$$und die neuen Integrationsgrenzen sind$$u(0)=2\quad;\quad u(1)=1+e$$Damit transformieren wir das Integral wie folgt:$$I=\int\limits_2^{1+e}\frac{1}{u^2}\,du=\left[-\frac1u\right]_2^{1+e}=-\frac{1}{1+e}+\frac12=\frac{e-1}{2(e+1)}$$

Answer 2

Die Substitution \(u=1+\mathrm{e}^t\) sollte hier ja sofort ins Auge springen.

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Text erkannt:

\( \begin{array}{c}\int \limits_{0}^{2} \frac{\exp (t)}{(1+\exp (t))^{2}} d t \\ 1+\exp (t)=u \\ \exp (t) d t=d u \\ \int \limits_{0}^{2} \frac{1}{u^{2}} \cdot d u=-u^{-2}\end{array} \)

Danach, Grenzeni wie ändern?

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Ich mache das immer so, dass ich die Substitution dann wieder rückgängig mache. Dann muss ich mir um die Grenzen keine Sorgen machen. Ich substituiere also ohne Grenzen und bestimmte mit der Substitution eine Stammfunktion, wo ich dann am Ende die ursprünglichen Grenzen einsetze.

Ansonsten u(2)=1+exp(2) und u(0)=1+exp(0).