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Aufgabe:

Die Erhaltungsgleichung lautet: \(q_t+f(q)_x=0\), wie kommt man dann mit der Kettenregel auf \(q_{tt}\) und \(q_{ttt}\)?:

$$ q_{t}=-f(q)_{x}, \quad q_{t t}=\left(f^{\prime}(q) f(q)_{x}\right)_{x}, \quad q_{t t t}=-\left(\left(f^{\prime}(q)\right)^{2} f(q)_{x}\right)_{x x} $$


Ansatz/Problem:

Wie kommt man auf diese Ableitungen? Bzw. macht das hier überhaupt sinn?


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Da müsste man mehr über die beteiligten Funktionen wissen. f ist eine reelle Funktion? Q hängt von x und t ab und bildet nach R ab?

$$\partial_t q(t,x)=-\partial_x \; f(q(t,x))$$

Was bedeutet hier x?

Manchmal verwendest du f' manchmal ft oder fx da weiss man nicht was was ist, und erst recht nicht was (f(q)x)xx sein soll

lul

Manchmal verwendest du f' manchmal ft oder fx da weiss man nicht was was ist, und erst recht nicht was (f(q)x)xx sein soll

In der Regel ist die mathematische Notation eindeutig...

Hey, vielen Dank für eure Hilfe. "x" stellt die Ableitung im Ort und "t" in der Zeit dar. Bzgl. der Anmerkung "Manchmal verwendest du f' manchmal ft oder fx da weiss man nicht was was ist, und erst recht nicht was (f(q)x)xx sein soll" würde ich auch gerne mehr zu sagen, kann es aber leider nicht, da es nicht von mir selbst kommt, sondern ich das gerade auch nicht verstehe...:(

2 Antworten

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Beste Antwort

Ich mach mal \(q_{tt}\).

Ausgangspunkt ist

\(q_t = - f(q)_x = -\partial_x f(q) = -f'(q)q_x\quad (1)\)

Wenn wir (1) partiell nach \(t\) ableiten, brauchen wir später auf jeden Fall \(q_{xt}\). Also leiten wir (1) schonmal partiell nach \(x\) ab:

\(q_{xt}  = -\partial_x \left(f'(q)q_x\right) = -\left(f''(q)q_x^2 + f'(q)q_{xx}\right) \quad (2)\)

Jetzt berechnen wir \(q_{tt}\):

\(q_{tt} = \partial_t\left(-f'(q)q_x\right) = -\left(f''(q)q_tq_x + f'(q)q_{tx} \right) = ...\)

Jetzt setzen wir (1) und (2) ein, wobei wir \(q_{tx}=q_{xt}\) annehmen:

\(... = -\left(f''(q)(-f'(q))q_x^2 - f'(q)\left(f''(q)q_x^2 + f'(q)q_{xx}\right) \right) =... \)

\(... = 2f''(q)f'(q)q_x^2 + \left(f'(q)\right)^2q_{xx} \quad (3)\)

Nun berechnen wir den anderen Audruck:

\(\partial_x\left(f'(q) f(q)_x\right) = \partial_x\left(\left(f'(q)\right)^2 q_x\right)= 2f''(q)f'(q)q_x^2 + \left(f'(q)\right)^2q_{xx} \quad (4)\)

Offenbar gilt (3) = (4). Damit ist die Formel für \(q_{tt}\) gezeigt.


Die Formel für \(q_{ttt}\) geht dann wohl analog, aber mit etwas mehr Rechnerei.

Avatar von 10 k

Vielen Dank für deine Hilfe!! Ich habe mich sehr über deine Antwort gefreut:)

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Etwas kürzer wäre

$$\partial_t^2q=-\partial_x\partial_tf(q)=-\partial_x(f'(q)\partial_tq)=\partial_x(f'(q)\partial_xf(q))$$

Avatar von 13 k

vielen Dank!

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