Stetigkeit von Operatoren mithilfe einer Identität zeigen

Question

Sei X ein normierter Vektorraum und A, B : X —> X lineare Abbildungen mit AB-BA = id. Zeige, dass A oder B stetig sind.

Ich habe einmal die Formel AB^(n+1) - B^(n+1) A = (n+1) B^n für alle n gezeigt. Dann kann man annehmen, dass A und B nicht stetig sind.

Dann gibt es eine Folge (x_n) mit Norm 1 mit ||Ax_n|| > n.

Die Frage ist, wie mache ich jetzt mit dieser Annahme und der obigen Formel weiter?

Comments

Mein erster Gedanke wäre ein Widerspruchsbeweis. Grundidee: Wenn A und B beide nicht stetig wären, wäre auch AB-BA nicht stetig  die Identität aber schon. So in etwa…

---

Okay aber wie genau hilft mir da diese Formel mit n+1 weiter?

---

Meiner Meinung nach nicht nötig

---

Hättest du dann einen Beweis?

Answer 1

Das ist einfach so falsch meine Freunde. Sei \( X=\mathcal{S}(\mathbb{R}) \) der Raum der Schwartz-Funktionen versehen mit der \( L^2 \)-norm. Das ist klar ein normierter Raum und
$$ Af=\frac{d}{dx}f \qquad \mathrm{und} \qquad Bf=xf $$

sind unstetige aber lineare operatoren. Weiterhin rechnen wir aus, dass
$$ [A,B]f=\frac{d}{dx}xf-x\frac{d}{dx}f=f $$

und somit ist \([A,B]=Id \). Allerdings sind weder A noch B beschränkte operatoren. Sieht man dadurch: Sei \( g(x)=\frac{1}{C}e^{-x^2} \) die \(L^2 \)-normierte Gaußglocke. Dann haben wir
$$ \Vert xg(x+t) \Vert_{L^2} \to \infty $$

für \(t \to \infty \) aber \( \Vert g(x+t) \Vert =1 \) aufgrund der Translationsinvarianz. Mithilfe der Fouriertransformation \( \mathcal{F} \) zeigt man die andere Identität, da \( \mathcal{F}(g)=g \), die FT eine bijjektive Isometrie auf \( X \) ist und die Fouriertransformierte \( B \) zu \(const \cdot A \) umwandelt.