Stetigkeit von Operatoren mithilfe einer Identität zeigen

Question

Sei X ein normierter Vektorraum und A, B : X —> X lineare Abbildungen mit AB-BA = id. Zeige, dass A oder B stetig sind.

Ich habe einmal die Formel AB^(n+1) - B^(n+1) A = (n+1) B^n für alle n gezeigt. Dann kann man annehmen, dass A und B nicht stetig sind.

Dann gibt es eine Folge (x_n) mit Norm 1 mit ||Ax_n|| > n.

Die Frage ist, wie mache ich jetzt mit dieser Annahme und der obigen Formel weiter?

Comments

Mein erster Gedanke wäre ein Widerspruchsbeweis. Grundidee: Wenn A und B beide nicht stetig wären, wäre auch AB-BA nicht stetig  die Identität aber schon. So in etwa…

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Okay aber wie genau hilft mir da diese Formel mit n+1 weiter?

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Meiner Meinung nach nicht nötig

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Hättest du dann einen Beweis?