Stetigkeit von Operatoren mithilfe einer Identität zeigen

Question

Sei X ein normierter Vektorraum und A, B : X —> X lineare Abbildungen mit AB-BA = id. Zeige, dass A oder B stetig sind.

Ich habe einmal die Formel AB^(n+1) - B^(n+1) A = (n+1) B^n für alle n gezeigt. Dann kann man annehmen, dass A und B nicht stetig sind.

Dann gibt es eine Folge (x_n) mit Norm 1 mit ||Ax_n|| > n.

Die Frage ist, wie mache ich jetzt mit dieser Annahme und der obigen Formel weiter?

Comments

Mein erster Gedanke wäre ein Widerspruchsbeweis. Grundidee: Wenn A und B beide nicht stetig wären, wäre auch AB-BA nicht stetig  die Identität aber schon. So in etwa…

---

Okay aber wie genau hilft mir da diese Formel mit n+1 weiter?

---

Meiner Meinung nach nicht nötig

---

Hättest du dann einen Beweis?

---

Sollte die Aussage etwa lauten: Dann sind nicht beide Abbildungen stetig?

---

@Mathhilf: Mahlzeit. Blut ist wohl gerade ehr wo anders, wa? Können auch beide stetig sein - nimm die Operatoren aus meinem Beispiel. Nimm den Raum aller Schwartz Funktionen mit der Norm \(\Vert f \Vert_{L^2}+\Vert f' \Vert_{L^2}+\Vert xf \Vert_{L^2} \), dann sind beide Operatoren aus meiner Antwort stetig. In dem dem du einen der beiden letzen Terme weglässt, kannst du auch nur 1 stetig haben. Und man kann sich noch mehr so Konstruktionen ausdenken, in dem man die als dicht-definierte Operaten in \(L^2 \) ansieht und dann mit der Graph-Norm den Abschluss bildet. So, macht mal weiter fleißig Mathe!

---

@ProfK: Wenn der Ableitungsoperator bezüglich Deiner angegebenen Norm beschränkt sein soll, braucht es eine Abschätzung von \(\|f''\|_2\) durch diese Norm. Wie geht das?

---

Wie kommst du darauf? $$\Vert Bf \Vert_{L^2}=\Vert f' \Vert_{L^2} \leq \Vert f \Vert_{L^2} +\Vert f' \Vert_{L^2} +\Vert xf \Vert_{L^2}. $$
Du hast nur den Term \( (f'(x))^2 \) unter dem Integral, brauchst nix partiell zu integrieren.

---

Du musst doch für den Raum X eine Norm fixieren. Sonst macht die Aufgabe doch keinen Sinn. Also ist

$$\|Af\|=\|f'\|=\|f'\|_2+\|f''\|_2+\|xf\|_2$$

Oder schau mal auf meine Antwort

Answer 1

Das ist einfach so falsch meine Freunde. Sei \( X=\mathcal{S}(\mathbb{R}) \) der Raum der Schwartz-Funktionen versehen mit der \( L^2 \)-norm. Das ist klar ein normierter Raum und
$$ Af=\frac{d}{dx}f \qquad \mathrm{und} \qquad Bf=xf $$

sind unstetige aber lineare operatoren. Weiterhin rechnen wir aus, dass
$$ [A,B]f=\frac{d}{dx}xf-x\frac{d}{dx}f=f $$

und somit ist \([A,B]=Id \). Allerdings sind weder A noch B beschränkte operatoren. Sieht man dadurch: Sei \( g(x)=\frac{1}{C}e^{-x^2} \) die \(L^2 \)-normierte Gaußglocke. Dann haben wir
$$ \Vert xg(x+t) \Vert_{L^2} \to \infty $$

für \(t \to \infty \) aber \( \Vert g(x+t) \Vert =1 \) aufgrund der Translationsinvarianz. Mithilfe der Fouriertransformation \( \mathcal{F} \) zeigt man die andere Identität, da \( \mathcal{F}(g)=g \), die FT eine bijjektive Isometrie auf \( X \) ist und die Fouriertransformierte \( B \) zu \(const \cdot A \) umwandelt.

Answer 2

Ich denke, die Aussage soll sein: Dann ist A oder B unstetig.

Zunächst folgt aus der abgeleiteten Formel des FS, dass B nicht nilpotent ist.

Wenn nun A und B stetig wären, dann folgt aus dieser Formel für alle natürlichen n:

$$(n+1)\| B^n\| \leq 2 \|A\|\|B\|\|B^n\| \Rightarrow n+1 \leq 2\|A\|\|B\|$$

Widerspruch