Übersetzung Prädikatenlogik, Quantor

Question

Aufgabe:

Übersetze folgende Aussage(n) der natürlichen Sprache in die formale Schreibweise der Logik:

Zu jedem ϵ > 0 und x ∈ D gibt es ein δ > 0, so dass |f(x) - f(y)| < ϵ für alle y ∈ D mit |x-y| < δ

Problem/Ansatz:

Sind diese Lösungen:

\( \forall \epsilon>0: \forall x \in D: \exists \delta>0: \forall y \in D:|x-y|<\delta \Rightarrow|f(x)-f(y)|<\epsilon \)

und

∀ε > 0: ∀x,y ∈ D: ∃δ ∈ D: |x-y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε

beide richtig?

Comments

Die 2. Formulierung ist falsch - entspricht nicht der Stetigkeitsdefinition. Sie lässt sich für \(x \neq y\) immer mit \(\delta =0.5|x-y|\) erfüllen. Für x=y ist sie ebenfalls wahr.

---

Das stimmt, da hab ich falsch gelesen.

---

@Mathhilf:

Die 2. Formulierung ist falsch - entspricht nicht der Stetigkeitsdefinition. Sie lässt sich für \(x \neq y\) immer mit \(\delta =0.5|x-y|\) erfüllen.
Verstehe ich nicht ganz, wäre dann nicht 1 < 0.5 ?

In jedem Falle ist die zweite Aussage aber aus mehreren Gründen falsch: δ hängt von ε, x und y ab (und nicht nur von ε und x)  und δ darf aus D sein (und nicht > 0).

---

Ja, "delta aus D" ist auch ein eklatanter Fehler

---

@nudger

Das stimmt, da hab ich falsch gelesen.

der Kommentar ergibt an dieser Stelle keinen Sinn.

---

@ user

Entschuldigung, ich hatte Deine Frage übersehen. Durch meine Wahl von delta wird in der Implikation die erste Aussage falsch und daher die Implikation wahr. Die 2. Formulierung wird daher von jeder Funktion erfüllt.

Answer 1

Die erste stimmt, dir zweite nicht, siehe Kommentar von mathbilf oben, jedenfalls so wie die Aufgabe gemeint ist (editiert).

Das "mit" in der Ausgangsaussage ist missverständlich, das ist nicht sauber formuliert. Man könnte es auch logisch als "und" lesen und dann bekäme die Aussage eine andere Bedeutung. Sollte man also so nicht formulieren, insb. gegenüber Leuten, die das ganze erst noch dabei sind zu lernen.