Rekursive Anwendung einer Funktion führt auf Wurzel

Question

Begründe deine Antwort auf die Frage: "Warum führt die rekursive Anwendung der Funktion f mit \(f(x)= \frac{x^2+a}{2x}\) mit beliebigem positiven Startwert auf \( \sqrt{a} \)?

Comments

Schreib doch bitte stets dabei, ob Du schon eine Lösung hast, und eine weitere suchst, oder was genau Du willst und warum Du die Frage (oder auch Deine Textbeiträge) hier stellst.

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a sollte wohl positiv vorausgesetzt werden

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nudger, meine Beiträge dienen der Unterhaltung der Mitglieder.

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Das ist ja nichts anderes als das Heron verfahren. Nur das der Term noch mit x erweitert worden ist.

$$x = \frac{x^2 + a}{2x} \newline 2x^2 = x^2 + a \newline x^2 = a \newline x = \sqrt{a}$$

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Banachscher Fixpunktsatz

Answer 1

Wegen

\(f(\sqrt{a})=\frac{a+a}{2\sqrt{a}}=\sqrt{a}\)

ist \(\sqrt{a}\) ein Fixpunkt von \(f\). Damit konvergiert die Folge \(x_{n+1}=f(x_n)\) nach dem Banachschen Fixpunktsatz gegen diesen Wert.

Da \(f\) wegen \(|f'(x)|=\left|\frac{1}{2}-\frac{a}{2x^2}\right|<1\) für \(x\geq \sqrt{a}\) auf \([\sqrt{a};\infty[\)

eine Kontraktion ist, ist der Banachsche Fixpunktsatz anwendbar.

Weiter ist \(f'(x)=0\) für \(x=\sqrt{a}\), das heißt \(f(x)\geq f(\sqrt{a})=\sqrt{a}\) für alle \(x>0\)

(wegen \(f''(x)=\frac{a}{x^3}\) ist \(f\) für \(x>0\) konvex und es liegt ein globales Minimum vor).

Ist der Startwert \(x_0\) also kleiner als \(\sqrt{a}\), so gilt bereits nach dem ersten Schritt \(f(x_0)\geq\sqrt{a}\) und das Verfahren konvergiert aufgrund der Kontraktionseigenschaft.

Comments

Das ist so nicht korrekt

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Was genau ist inkorrekt?

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ab ‚Damit …‘

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f(x) = 10 * (x - a) + a

Nur weil

f(a) = 10 * (a - a) + a = a

ist, muss die Folge nicht gegen a konvergieren oder?

Der Banachsche Fixpunktsatz hat eine weitere Voraussetzung, die man prüfen müsste.

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"Nicht korrekt" würde ich nicht sagen. Ich habe es nur nicht vollständig ausgeführt. Habe es aber entsprechend angepasst.

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Es ist immer noch nicht komplett, Du hast keine abgeschlossene Menge genommen und auch nicht gezeigt, dass es eine Selbstabbildung ist.

Fixpunktsatz von Banach:

Es seien \( (V,\|\cdot\|) \) ein Banachraum, \( D \subset V \) eine abgeschlossene Menge und \( T: D \rightarrow D \) eine Kontraktion mit Kontraktionskonstante \( q \in[0,1) \). Dann besitzt \( T \) genau einen Fixpunkt \( x \in D \).