Berechnen Sie die Determinante der reellen n×n-Matrix

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Determinante der reellen n×n-Matrix

\( \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & \ldots & 0 & d_{1} \\ \vdots & . & d_{2} & * \\ 0 & . & . & \vdots \\ d_{n} & * & \ldots & * \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich so etwas an?

Comments

Du könntest den Laplace‘schen Entwicklungssatz nutzen und nach der ersten Spalte (oder Zeile) entwickeln, da dort alle Unterdeterminanten bis auf eine wegfallen. Dasselbe dann mit dieser usw..

Egal welche Methode Du nutzt, am Ende mußt Du die ganzen Vorzeichenwechsel aufaddieren. Da mag eine Formel von Gauss nützlich sein :-)

Zur Kontrolle:

\( \operatorname{det} A=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} d_{1} d_{2} \ldots d_{n} \).

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Als nette kleine Übungsaufgabe könntest Du

\( \operatorname{det} A=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} d_{1} d_{2} \ldots d_{n} \)

mittels Vollständiger Induktion beweisen.

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Vielen Dank an alle, ich habe es jetzt kapiert.

Answer 1

Aloha :)

1. Fall: \(n=1\):

Die Matrix besteht nur aus dem Element \(d_1\), also ist \(\operatorname{det}(A)=d_1\).

2. Fall \(n=2\):

Du kannst die beiden Spalten der Matrix vertauschen und erhältst dann eine Diagonalmatrix. Durch die Vertauschung von zwei Spalten (oder zwei Zeilen) ändert die Determinante ihr Vorzeichen. Die Determinate einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente. $$\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{c}0 & d_1\\d_2 & 0\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c}d_1 & 0\\0 & d_2\end{array}\right|=-d_1\cdot d_2$$

3. Fall \(n=3\):

Hier vertauschst du die erste und die dritte Spalte, um eine Diagonalmatrix zu erhalten.$$\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{c}0 & 0 & d_1\\0 & d_2 & 0\\d_3 & 0 & 0\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c}d_1 & 0 & 0\\0 & d_2 & 0\\0 & 0 & d_3\end{array}\right|=-d_1\cdot d_2\cdot d_3$$

4. Fall \(n=4\):

Du vertauschst die erste und die vierte Spalte sowie die zweite und die dritte Spalte. Da zwei Vertauschungen stattfinden, ändert sich das Vorzeichen der Determinante zwei Mal. Es bleibt also beim positiven Vorzeichen.$$\small\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & d_1\\0 & 0 & d_2 & 0\\0 & d_3 & 0 & 0\\d_4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c}d_1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & d_2 & 0\\0 & d_3 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & d_4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}d_1 & 0 & 0 & 0\\0 & d_2 & 0  & 0\\0 & 0 & d_3 & 0\\0 & 0 & 0 & d_4\end{array}\right|=d_1\cdot d_2\cdot d_3\cdot d_4$$

5. Fall \(n=5\):

Auch hier reichen wieder zwei Vertauschungen aus. Die mitlere Spalte lässt du unberührt, vertauschst aber die erste und die fünfte sowie die zweite und die vierte Spalte.$$\operatorname{det}(A)=d_1\cdot d_2\cdot d_3\cdot d_4\cdot d_5$$

Allegemeiner Fall:

Die von Null verschiedenen Elemente der Matrix werden also miteiander multipliziert. Das Vorzeichen der Determinante richtet sich nach der Anzahl der nötigen Vertauschungen:

$$\begin{array}{l|c}n= & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 &\cdots\\\hline\text{Vertauschungen} & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 &\cdots\end{array}$$

Wenn du \(n\) halbierst und dann abrundest, hast du die Anzahl der Vertauschungen: \(\lfloor\frac n2\rfloor\).

Allgemein lautet also die gesuchte Determinante:$$\operatorname{det}(A)=(-1)^{\lfloor\frac n2\rfloor}\cdot d_1\cdot d_2\cdots d_n=(-1)^{\lfloor\frac n2\rfloor}\cdot\prod\limits_{k=1}^nd_k$$

Comments

Zur Abrundung dieser Lösung sei erwähnt, dass sie sich nur optisch von der von User 2665 unterscheidet.

Answer 2

Durch Zeilenvertauschungen auf eine links-obere Dreiecksmatrix bringen. Deren Determinante ist das Produkt der Diagonalelemente. Eine Zeilenvertauschung ändert das Vorzeichen der Determinante.

Geht auch allein mit Spaltenvertauschungen, da gilt dasselbe.

Answer 3

In obere Dreiecksform umwandeln. Zum Beispiel angefangen mit

\(\begin{aligned}\mathrm{I}&\leadsto \mathrm{I} + \mathrm{N}\\\mathrm{N}&\leadsto\mathrm{N}-\mathrm{I}\end{aligned}\)

Schau nach welche Auswirkungen diese elementaren Zeilenumformungen auf die Determinante haben.

Die Determinante einer Matrix in oberer Dreiecksform ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen.