Summe dieser Reihe berechnen?

Question

Aufgabe:

Summe dieser Reihe berechnen?

Problem/Ansatz:

seid mir bitte nicht böse für diese komische darstellung, ich habe zwar das Summenzeichen gefunden unter den Symbolen, wusste aber nicht, wie ich die Zahlen darüber/darunter machen soll.

Leider konnte ich (noch) nicht herausnehmen, ob es sich hier um eine geometrische/arithmetische Reihe handelt.

Auf jeden Fall soll ich die Summe dieser Reihe berechnen und ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir auch erklärt wie man dies ablesen kann

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{100} k \)

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Rechne:

	k=1	k=2	k=3	...	k=100	Summe
Wert	1	2	3	...	100	5050

oder rechne (erheblich effizienter) einfach 50 * 101 aus:

	k=1 k=100	k=2 k=99	...	k=50 k=51	Summe
Wert	1	2	...	50
Wert	100	99	...	51
Summe	101	101	...	101	5050

Zur Eingabe des Terms: Wenn man das Summenzeichen nicht im Menu "Sym" sondern im Menu \(\sqrt[4]{x}\) links davon wählt, dann wird "\sum\limits_{n=0}^{\infty}{n}" in den Text eingefügt, was in der Vorschau als

 \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \)

angezeigt wird und man dann anpassen kann. In Deinem Fall das n=0 ersetzen mit k=1, das infty mit 100, und das zweite n mit k. Zudem hat die Mathelounge eine Schrifterkennung, die allermeistens gut funktioniert. Darum steht das "Text erkannt" unter Deiner Abbildung.

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Wie hat der kleine Gauß das gemacht?
Als siebenjähriger addierte Carl Friedrich Gauß blitzschnell die Zahlen von 1 bis 100 und erhielt das Ergebnis: 5050. Wie hatte er das gemacht? Und – hätten wir das auch gekonnt?
Gerne wird die Anekdote erzählt, wie der kleine Carl Friedrich Gauß schon als siebenjähriger seinen Lehrer verblüffte. Dieser wollte sich etwas Ruhe von seinen Schülern verschaffen. Er gab ihnen die Rechenaufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Aber schon nach kurzer Zeit zeigte Klein-Gauß auf seiner Tafel das richtige Ergebnis: 5050.

Schaut man sich die Zahlen von 1 bis 100 abwechselnd vorne und hinten in der Folge an, so sieht man das Ergebnis fast schon: Die erste und die letzte Zahl ergeben 1 + 100 = 101, dann geht es weiter mit 2 + 99, ergibt wieder 101. Jetzt kommt 3 + 98, ergibt schon wieder 101. Offenbar ergeben die Pärchen stets 101. Da es insgesamt 100 Zahlen sind, haben wir 50 Pärchen. Also insgesamt 50 mal 101 für die Summe. Das kann man im Kopf: 50 x 101 = 5050. Genau so hat es der kleine Gauß auch gemacht.

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Se non è vero, è ben trovato.

Mir hat man die Geschichte so ähnlich ja auch erzählt. Aber ich suche seit Jahren schon, sporadisch, nach einer verlässlichen zitierfähigen Quelle dazu. Hat jemand eine, die über Hörensagen hinausgeht?

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Die Geschichte findet sich in Wolfgang Sartorius von Waltershausens Nachruf Gauß zum Gedächtnis, wobei sich Sartorius verbürgt, Gauß habe die Geschichte „in seinem hohen Alter mit großer Freude und Lebhaftigkeit öfter erzählt“.

von https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

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Danke, ist bekannt. Ich frage mich halt, ob ein Lehrer damals von 7-Jährigen (d.h. Erst- oder Zweitklässlern) verlangte, bis > 5000 zu rechnen.

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Dann lies evtl. nochmals nach

https://books.google.de/books?id=h_Q5AAAAcAAJ&pg=PA12

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danke für deine antwort

Answer 1

Aloha :)

"Ablesen" kannst du den Wert der Summe, wenn du dir folgendes Bild vorstellst:

~plot~ 1*(x>0)*(x<5);2*(x>0)*(x<4);3*(x>0)*(x<3);4*(x>0)*(x<2);5*(x>0)*(x<1);5*(x>0)*(x<5);-x+5;[[0|7|0|5]] ~plot~

In der unteren Reihe sind 5 kleine "Quadrate" mit jeweils der Fläche \(1\), in der Reihe darüber sind 4 solcher kleinen "Quadrate", dadrüber sind 3 kleine "Quadrate", dann kommen 2 kleine "Quadrate" und ganz oben ist nur noch 1 kleines "Quadrat". Wir wollen wissen, welche Fläche alle kleinen "Quadrate" überdecken. Dazu habe ich die Diagonale eingezeichnet. Wir erkennen unterhalb der Diagonalen die Fläche des halben großen äußeren Quadrates, also \(\frac{5^2}{2}\). Oberhalb der Diagonalen kommt nochmal die Fläche von 5 halben kleinen "Quadraten" hinzu. Also haben wir folgende Formel gefunden:$$1+2+3+4+5=\frac{5^2}{2}+\frac52=\frac{30}{2}=15$$

Jetzt erweitere dieses Bild im Kopf und lies vor deinem geistigen Auge ab:$$1+2+3+4+\ldots+100=\frac{100^2}{2}+\frac{100}{2}=5050$$

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vielen dank für deine antwort

Answer 2

$$ \sum \limits_{k=1}^{100} k$$ ist eine (endliche) arithmetische Reihe.

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Hier wird die Summe in knapp sechs Minuten besprochen.

Answer 3

Dann schau dir nochmal die Definition einer arithmetischen bzw. geometrischen Reihe/Folge an und überlege, was denn hier vorliegen muss. Worin unterscheiden sie sich? Findest du konkrete Beispiele, die du den Definitionen zuordnen kannst?

Habt ihr dann entsprechende Formeln für solche Reihen? Dann wende sie an.

Falls gar nichts geht, kann man die Summe immer noch per Hand ausrechnen. Das hat Gauß auch im jungen Alter hinbekommen und dafür muss man kein großer Mathematiker sein.

Answer 4

Nicht ganz so, wie es Gauss gemacht hat, aber auch recht anschaulich. Man schreibt die Summe aus 100 Summanden einmal auf und einmal absteigend auf und addiert die beiden Summen dann.

x = 1 + 2 + 3 + ... + 100
x = 100 + 99 + 98 + ... + 1

2x = 101 + 101 + 101 + ... + 101
2x = 100 * 101
x = 50 * 101
x = 5050

Ich finde diese Herleitung sogar noch etwas schöner als die von Gauss, aber das ist Geschmackssache.

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nicht etwas schöner

Du meinst sicher "noch etwas schöner"

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Danke Wolfgang. Ich habe das verbessert.