Eigenmann-Aufgabe: Winkel alpha bestimmen

Question

Aufgabe:

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.4.165, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 24.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Wegn des kreisbogens gitt, dass \( A B C \) gleidsertig ist, \( 19180 \overline{A B}=\overline{A C}=\overline{B C} \). Nad dem Vinkelsmensatz gilt \( 180=3 \alpha \) 1:3
\( 60=\alpha . \)

Der Winkel \( \alpha \) betrigt \( 60^{\circ} \)

Servus Leute und zwar wollte ich wissen, ob ich diese geometrische Denkaufgabe richtig gelöst habe. Mir erschien es zu einfach….

Comments

Vielleicht solltest du dazusagen, was B und was C sein soll…

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Deine Lösung ist richtig. Aber das könnte auch Zufall sein. Dein Lösungsvorschlag ist jedenfalls nicht nachvollziehbar. Es fehlen die Bezeichnungen der Punkte in der Skizze, auf die du dich in der Lösung beziehst.

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Vermutlich nahm er an, dass der Abstand von A zu den Mittelpunkten der Kreise gleich dem Radius derselben sei, was nicht der Fall sein muß.

Interessant ist, dass die Lösung α = 60° unabhängig vom Radius oder dem Mittelpunkt (in Grenzen) der Kreise ist.

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Vom Duplikat:

Titel: Frage von Eigenmann: #165, Teil 1

Stichworte: geometrie

Aufgabe:

Frage von eigenmann: #165, Teil 1

Problem/Ansatz:

Idee: Kreisbögen zu Vollkreisen ergänzen

Text erkannt:

\( 165 \alpha=? \)

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Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 60^\circ \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

Answer 1

Die Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke habe ich mit β bzw. φ bezeichnet.

Unter Anwendung des Außenwinkelsatzes ergeben sich die eingezeichneten Winkelgrößen 2β , 2φ  und α+β.

Setzt man die Innenwinkelsumme des linken und des oberen Dreiecks gleich, folgt α+2β+2φ=2α+β+φ und damit β+φ=α.

Damit gilt 3α=180°.

Das Ergebnis stimmt also (zufälligerweise), aber die Begründung ist aus der Luft gegriffen.

Wir hätten nur dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn β=φ vorausgesetzt wäre.

Comments

Vielen Dank dafür. Wie kommst du aber auf dieses 2β , 2φ?

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Anwendung des Außenwinkelsatzes

So gilt in dem unteren gleichschenkligen Dreieck

(180 - β) + (180 - β) + x = 360 --> x = 2·β

Genau so geht das auch in dem oberen gleichschenkligen Dreieck. Ist das so klar oder soll ich die Außenwinkel einzeichnen?

Merke:

Außenwinkel
Jeder Innenwinkel hat auch einen zugehörigen Außenwinkel. Innen- und Außenwinkel ergeben zusammen immer 180°. Gleichzeitig ist ein Außenwinkel so groß wie die beiden gegenüberliegenden Winkel zusammen.

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Ich danke dir vielmals. Ja wäre gut, wenn du sie einzeichnen würdest;)

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Hier kann man gut erkennen, dass sich ein Außenwinkel als die Summe der 2 anderen Winkel darstellen lässt.

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Vielen lieben Dank :)

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Wie kommt die Entscheidung dafür zustande, dass

Damit gilt 3α=180°. ?

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Unter Anwendung des Außenwinkelsatzes ergeben sich die eingezeichneten Winkelgrößen 2β , 2φ  und α+β.

Setzt man die Innenwinkelsumme des linken und des oberen Dreiecks gleich, folgt α+2β+2φ=2α+β+φ und damit β+φ=α.

Damit gilt 3α=180°.

Hast du auch gelesen, was davor steht? Ergänze in der markierten Gleichung "=180°".

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Danke für das Nachliefern von

Ergänze in der markierten Gleichung "=180°".

Solche Nachlässigkeiten sind ärgerlich und zeitraubend und kommen mir für meinen Geschmack bei in Mathematik Heimischen - diesem seriösen Metier nicht geerecht werdend - viel zu oft vor.

Ich erlaube mir die nächste Frage:

Das Ergebnis stimmt also (zufälligerweise), aber die Begründung ist aus der Luft gegriffen.

Wieso ''außer Spesen nichts gewesen''? Wieso kann auf dieses Rechenergebnis nicht gebaut werden?

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Solche Nachlässigkeiten

Das ist keine Nachlässigkeit. Wenn man die Ausführungen sorgfältig liest, ergibt sich das direkt aus dem Markierten:

Setzt man die Innenwinkelsumme des linken und des oberen Dreiecks gleich, folgt α+2β+2φ=2α+β+φ und damit β+φ=α.

Damit dürfte klar sein, dass hier zwei Innenwinkelsummen gleichgesetzt werden, die bekanntermaßen 180° betragen. Die Problematik ist hier also an anderer Stelle zu suchen, aber nicht beim Autor des Kommentars.

Wieso kann auf dieses Rechenergebnis nicht gebaut werden?

Die Begründung des Fragestellers ist nicht ausreichend, weil es eben Zufall sein kann, dass das Dreieck gleichseitig ist. Das hat er aber nicht nachgewiesen. Ich gehe mal davon aus, dass er mit B und C die Mittelpunkte der Kreisbögen meint.

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Der Fragesteller ist Eigenmann. Seine Frage lautet:

α = ?

Die Antwort ist α = 60°, gegeben von abakus

3α=180°

Das Dreieck links unten ist nicht zufällig gleichschenklig, sondern es kann gleichschenklig sein, denn für β und φ gilt nur

β+φ=α.

α = 60° gilt auch immer an der Kreuzungsstelle in Skizzen-Mitte, unabhängig von den Werten für β und φ.

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In der folgenden Skizze habe ich es für 2β = 55° bzw. = 45° kontrolliert.

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user26605

Vermutlich nahm er an, dass der Abstand von A zu den Mittelpunkten der Kreise gleich dem Radius derselben sei, was nicht der Fall sein muß.

Ich bin dieser Annahme (als ob ...) mal nachgegangen.

Das Dreieck links ist gleichseitig (α = 60°)

Da die beiden Radien gleich sind (Mittelpunkt und 1 Kreispunkt sind gegenseitig vertauscht), ist die Skizze vollständig bestimmt und oben-unten-symmetrisch:
die gekreuzten Linien sind Mitten-Normale auf den über die Kreismittelpunkte hinaus verlängerten Dreieckseiten (die rechten Winkel sind in je einem Thales-Halbkreis ersichtlich)

I

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abakus,

.... und damit β+φ=α.
Damit gilt 3α=180°.

Zunächst ergänze dazu: Im rechten oberen Dreieck steht α, und α+β und γ hast Du handschriftlich ergänzt. Aus dieser Innenwinkelsumme 2α+β+γ wird mit β+φ=α die Winkelsumme 3α.

Aber jetzt:

Das Ergebnis stimmt also (zufälligerweise), aber die Begründung ist aus der Luft gegriffen.
Wir hätten nur dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn β=φ vorausgesetzt wäre.

Das verstehe ich immer noch nicht. Du bist doch links gar nicht von einem gleichseitigen Dreieck ausgegangen, und hast die beiden rechten (gleichschenkligen) Dreiecke mit verschiedenen Basiswinkeln unterschieden (unten mit β oben mit φ).

Für mich ist das alles in Ordnung. β=φ muss nicht sein. Das Ergebnis ist immer 60°, bei jederart unsymmetrischen Anordnung (s. meine Skizze vom 24.Jan.) und selbstverständlich auch beim Sonderfall Symmegtrie.

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Der Winkel α betrigt 60°

Servus Leute und zwar wollte ich wissen, ob ich diese geometrische Denkaufgabe richtig gelöst habe. Mir erschien es zu einfach….

Das Ergebnis vom Fragesteller stimmt zufällig.

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abakus,

weit unten steht etwas, das ich gestern abend an Dich addressiert habe.

Ich verstehe leider immer noch nicht, wie es hier im Blog zu machen ist, um Dich sicher zu erreichen. Ich habe noch eine Ergänzung und werde diese wieder nachr Deinem letzten Beitrag mit dem Button Kommentieren darunter, einfügen.

Man könnte die Frage auch mit Worten stellen: Bei welcher Gestalt der Skizze sind die Werte des Winkels an der Spitze links und an der Kreuzung der zwei Geraden rechts gleich?

Würde man allgemein nach der Abhängigkeit der beiden Winkel (links α und rechts γ anstatt bisher α) fragen, wäre die Innenwinkelsumme im rechten oberen Dreieck
α+β + φ + γ = 180° 
mit α + 2β + 2φ = 180° (linkes Dreieck)   >>>  γ = 90° - α/2

Auch im Allgemeinen braucht das linke Dreieck kein gleichschenkliges zu sein.

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 @holdi:

Wenn hier immer mal wieder das Wort "gleichseitig" auftaucht, ist das immer noch die Reaktion auf die schon 4 Monate alte Fehleinschätzung des ersten Fragestellers.