Eigenmann-Aufgabe: Winkel alpha bestimmen

Question

Aufgabe:

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.4.165, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 24.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Wegn des kreisbogens gitt, dass \( A B C \) gleidsertig ist, \( 19180 \overline{A B}=\overline{A C}=\overline{B C} \). Nad dem Vinkelsmensatz gilt \( 180=3 \alpha \) 1:3
\( 60=\alpha . \)

Der Winkel \( \alpha \) betrigt \( 60^{\circ} \)

Servus Leute und zwar wollte ich wissen, ob ich diese geometrische Denkaufgabe richtig gelöst habe. Mir erschien es zu einfach….

Comments

Vielleicht solltest du dazusagen, was B und was C sein soll…

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Deine Lösung ist richtig. Aber das könnte auch Zufall sein. Dein Lösungsvorschlag ist jedenfalls nicht nachvollziehbar. Es fehlen die Bezeichnungen der Punkte in der Skizze, auf die du dich in der Lösung beziehst.

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Vermutlich nahm er an, dass der Abstand von A zu den Mittelpunkten der Kreise gleich dem Radius derselben sei, was nicht der Fall sein muß.

Interessant ist, dass die Lösung α = 60° unabhängig vom Radius oder dem Mittelpunkt (in Grenzen) der Kreise ist.

Answer 1

Die Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke habe ich mit β bzw. φ bezeichnet.

Unter Anwendung des Außenwinkelsatzes ergeben sich die eingezeichneten Winkelgrößen 2β , 2φ  und α+β.

Setzt man die Innenwinkelsumme des linken und des oberen Dreiecks gleich, folgt α+2β+2φ=2α+β+φ und damit β+φ=α.

Damit gilt 3α=180°.

Das Ergebnis stimmt also (zufälligerweise), aber die Begründung ist aus der Luft gegriffen.

Wir hätten nur dann ein gleichseitiges Dreieck, wenn β=φ vorausgesetzt wäre.

Comments

Vielen Dank dafür. Wie kommst du aber auf dieses 2β , 2φ?

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Anwendung des Außenwinkelsatzes

So gilt in dem unteren gleichschenkligen Dreieck

(180 - β) + (180 - β) + x = 360 --> x = 2·β

Genau so geht das auch in dem oberen gleichschenkligen Dreieck. Ist das so klar oder soll ich die Außenwinkel einzeichnen?

Merke:

Außenwinkel
Jeder Innenwinkel hat auch einen zugehörigen Außenwinkel. Innen- und Außenwinkel ergeben zusammen immer 180°. Gleichzeitig ist ein Außenwinkel so groß wie die beiden gegenüberliegenden Winkel zusammen.

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Ich danke dir vielmals. Ja wäre gut, wenn du sie einzeichnen würdest;)

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Hier kann man gut erkennen, dass sich ein Außenwinkel als die Summe der 2 anderen Winkel darstellen lässt.

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Vielen lieben Dank :)