Bestimme den Wert von b so, dass das bestimmte Integral den angegebenen Wert besitzt

Question

Aufgabe:

Bestimme den Wert von b so, dass das bestimmte Integral den angegebenen Wert besitzt

Problem/Ansatz:

Die Rechnung ist vermutlich total einfach, aber ich komme leider trotzdem nicht drauf. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

\( \int\limits_{0}^{b} \) (2*x +2) dx =24 

Comments

Huhu Eva,

ich habe gesehen, dass Du schon eine Weile dabei bist. Wenn Du Dich einem Antworter dankbar zeigen wills (neben einem "Danke" - danke dafür. Das ist hier auch nicht selbstverständlich), kannst Du auch eine "Beste Antwort" vergeben. Da freut sich der Helfer sicher ;).

Grüße

Answer 1

f(x) = 2·x + 2

Eine Stammfunktion

F(x) = x^2 + 2·x

Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung

∫ (0 bis b) f(x) dx = F(b) - F(0) = (b^2 + 2·b) - (0^2 + 2·0) = b^2 + 2·b = 24 --> b = -6 ∨ b = 4

Kannst du dabei die quadratische Gleichung b^2 + 2·b = 24 selber lösen oder bräuchtest du da auch noch Hilfe?

Comments

b = -6 ∨ b = 4

Der erste Teil der Lösung ist falsch, denn er würde nicht zum verlangten Wert 24 des bestimmten Integrals führen.

\( \int\limits_{-6}^{0} \; (2x + 2) \;\text{d}x = - 24 \)

... oder bräuchtest du da auch noch Hilfe?

Zum Helfen sind wir ja da.

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b = -6 ∨ b = 4

Der erste Teil der Lösung ist falsch, denn er würde nicht zum verlangten Wert 24 des bestimmten Integrals führen.

Doch, auch b=-6 ist eine Lösung. Im Text steht nirgendwo, dass die "obere" Integrationsgrenze tatsächlich größer sein muss als die untere.

Wie du dich leicht überzeugen kannst, ist (-6)²+2·(-6) ebenfalls 24.

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Wenn die "obere" die "untere" sein darf, dann stimmt das selbstverständlich.

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Wieso sollte das nicht sein dürfen? Man sollte nicht irgendetwas in Aufgaben hineininterpretieren, sondern sich einfach an die mathematischen Regeln halten. Auch Ausdrücke der Form \(\int_{b}^{a}\!f(x)\,\mathrm{d}x\) mit \(a<b\) sind wohldefiniert, denn \(\int_{b}^{a}\!f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm{d}x\).

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Damit kommen wir zur Frage an Eva07: Habt Ihr \(\int_a^b \ldots \) auch für den Fall \(a > b \) definiert?

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bei unserem buch ist es allgemein so, dass b größer als a ist, allerdings habe ich das Bsp mittlerweile lösen können. 4 ist richtig

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Nein, danke. Habe es mittlerweile geschafft (mit der pq-Formel), danke für deine Hilfe und die von allen anderen.

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@Eva07 des Pudels Kern bei den beiden Lösungen: Die beiden dunkelgrünen Flächen sind gleich, heben sich beim Integral aufgrund des unterschiedlichen Vorzeichens auf, und die hellgrüne Fläche ist gleich der hellblauen Fläche...

\( \underbrace{\int\limits_{-6}^{-2} \; (2x + 2) \;\text{d}x = \int\limits_{-6}^{0} \; (2x + 2) \;\text{d}x}_{-24} \; \neq \underbrace{\int\limits_{0}^{4} \; (2x + 2) \;\text{d}x}_{24}  \)

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ok, ja, weil ein Flächeninhalt gesamt ja sowieso nicht negativ sein kann

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Genau, die Integrale aber schon, und deshalb ist das grüne nicht gleich dem blauen.

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Es ist schon etwas anderes, ob man von -6 bis 0 integriert oder von 0 bis -6.

Man darf bei einem Integral nicht einfach die Grenzen vertauschen, bzw. sollte man sich klar sein, dass sich dadurch eben das Vorzeichen ändert.

∫ (a bis b) f(x) dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b)) = - ∫ (b bis a) f(x) dx

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Das hat ja Mathhilf oben mit Rückfrage bei der Fragestellerin geklärt.

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Und ich sagte das auch schon. Aber kann ja gerne wiederholen, was andere schon gesagt haben...

Answer 2

Wo ist das Problem? Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen, Ergebnis gleich 24 setzen, Gleichung lösen.