Bestimme den Wert von b so, dass das bestimmte Integral den angegebenen Wert besitzt

Question

Aufgabe:

Bestimme den Wert von b so, dass das bestimmte Integral den angegebenen Wert besitzt

Problem/Ansatz:

Die Rechnung ist vermutlich total einfach, aber ich komme leider trotzdem nicht drauf. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

\( \int\limits_{0}^{b} \) (2*x +2) dx =24 

Answer 1

Wo ist das Problem? Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen, Ergebnis gleich 24 setzen, Gleichung lösen.

Answer 2

f(x) = 2·x + 2

Eine Stammfunktion

F(x) = x^2 + 2·x

Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung

∫ (0 bis b) f(x) dx = F(b) - F(0) = (b^2 + 2·b) - (0^2 + 2·0) = b^2 + 2·b = 24 --> b = -6 ∨ b = 4

Kannst du dabei die quadratische Gleichung b^2 + 2·b = 24 selber lösen oder bräuchtest du da auch noch Hilfe?

Comments

b = -6 ∨ b = 4

Der erste Teil der Lösung ist falsch, denn er würde nicht zum verlangten Wert 24 des bestimmten Integrals führen.

\( \int\limits_{-6}^{0} \; (2x + 2) \;\text{d}x = - 24 \)

... oder bräuchtest du da auch noch Hilfe?

Zum Helfen sind wir ja da.

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b = -6 ∨ b = 4

Der erste Teil der Lösung ist falsch, denn er würde nicht zum verlangten Wert 24 des bestimmten Integrals führen.

Doch, auch b=-6 ist eine Lösung. Im Text steht nirgendwo, dass die "obere" Integrationsgrenze tatsächlich größer sein muss als die untere.

Wie du dich leicht überzeugen kannst, ist (-6)²+2·(-6) ebenfalls 24.

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Wenn die "obere" die "untere" sein darf, dann stimmt das selbstverständlich.

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Wieso sollte das nicht sein dürfen? Man sollte nicht irgendetwas in Aufgaben hineininterpretieren, sondern sich einfach an die mathematischen Regeln halten. Auch Ausdrücke der Form \(\int_{b}^{a}\!f(x)\,\mathrm{d}x\) mit \(a<b\) sind wohldefiniert, denn \(\int_{b}^{a}\!f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm{d}x\).

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Damit kommen wir zur Frage an Eva07: Habt Ihr \(\int_a^b \ldots \) auch für den Fall \(a > b \) definiert?